Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Неравенство первой степени с одним неизвестным

Содержание статьи

Определение

Часто неравенство первой степени также называют линейным неравенством.

Определение 1

Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа и $a \ne 0$, называют неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Также в школьных учебниках встречается другое определение:

Определение 2

Неравенство вида $ax $, $\le$ или $\ge$), где $x$ – неизвестное, $a$ и $b$ – любые числа, называются неравенством первой степени с одним неизвестным.

В последнем определении ничего не сказано о коэффициенте при неизвестном $x \ne 0$, т.е. считается, что и неравенство вида $0 \cdot x $, $\le$ или $\ge$) также является неравенством первой степени.

Условимся не отбрасывать вариант, когда $a=0$, поэтому будем использовать следующее определение:

Определение 3

Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Пример 1

Неравенства $7x+5,2

Как видим по примерам, неизвестным может быть не только переменная $х$.

Пример 2

Неравенства $3x

Решение неравенств

Замечание 1

Основной способ решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду $x $, $\le$ или $\ge$), где некоторое число $c$ и является искомым решением.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим решение неравенств с помощью равносильных преобразований.

Алгоритм решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным $ax+b $, $\le$, $\ge$) при $a \ne 0$:

  1. Число $b$ нужно перенести в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный, что позволит перейти к равносильному неравенству $ax $, $\le$, $\ge$).
  2. Разделить обе части равносильного неравенства на число $a$. В таком случае при положительном a знак неравенства сохранится, при отрицательном $a$ знак неравенства меняется на противоположный. В итоге получают неравенство, которое равносильно исходному неравенству первой степени.
Пример 3

Решить неравенство $4x-7 \ge 0$.

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

  1. Перенесем $–7$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $4x \ge 7$.
  2. Выполнив деление обеих частей неравенства $4x \ge 7$ на положительное число $4$ (знак неравенства остается прежним), получим $4x:4 \ge 7:4$, т.е. $x \ge \frac{7}{4}$.

Ответ часто записывают в виде числового промежутка $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$4x-7 \ge 0$;

$4x \ge 7$;

$x \ge \frac{7}{4}$.

Ответ: $x \ge \frac{7}{4}$ или $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Пример 4

Решить неравенство $-3,8y

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

  1. Свободный член неравенства отсутствует в явном виде, а значит равен нулю, поэтому переносить его в правую часть неравенства не нужно.
  2. Выполнив деление обеих частей неравенства $-3,8y $»), получим $–3,8y:(-3,8) > 0:(-3,8)$, т.е. $y

Числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$-3,8y

$y

Ответ: $y

Пример 5

Решить неравенство $-6z+\frac{3}{8} > 0$.

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

  1. Перенесем $\frac{3}{8}$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $-6z > -\frac{3}{8}$.
  2. Выполнив деление обеих частей неравенства $-6z > -\frac{3}{8}$ на отрицательное число $–6$ (знак неравенства останется прежним), получим $(-6z):(-6) > (-\frac{3}{8}):(-6)$, т.е. $z

Числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{16})$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$-6z+\frac{3}{8} > 0$;

$-6z > -\frac{3}{8}$;

$z

$z

Ответ: $z

В случае a=0 алгоритм решения неравенствf 1-й степени с одним неизвестным $0 \cdot x+b $, $\le$, $\ge$):

Рассматривается числовое неравенство $b $, $\le$, $\ge$):

  • если оно правильное, то решение неравенства – любое из действительных чисел;
  • если оно неправильное, то неравенство не имеет решений.
Пример 6

Решить неравенство $0 \cdot z-11

Решение.

Рассмотрим неравенство $-11

Ответ: любое из действительных чисел или $(−\infty, +\infty)$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис