Общая характеристика логики предикатов
Язык логики предикатов – это один из искусственных языков, используемый в современной логике для анализа логической структуры простых высказываний.
Как следует из названия, язык логики предикатов используется в конкретном разделе логики – логике предикатов.
Логика предикатов – это раздел логики, исследующий рассуждения и другие языковые контексты, принимая во внимание внутреннюю структуру образующих их простых высказываний.
В логике предикатов осуществляется функциональная трактовка выражений языка. Это значит, что выражения рассматриваются знаки функций или знаки аргументов функций. Важной особенностью логики предикатов является то, что в ней к одной категории знаков (категории предикаторов, или предметно-истинностных функторов) относят:
- общие имена («человек», «поселок», «жидкость»),
- знаки свойств («прозрачный», «белый», «маленький»),
- знаки отношений («больше», «южнее», «более щелочная»).
Предикаторы служат для репрезентации функций, возможными аргументами которой выступают объекты некоторого рассматриваемого универсума, а возможными значениями – оценки истинности (для случая классической логики – ложь и истина).
Например, предикатор «животное семейства кошачьих» представляет собой функцию, которая кошке поставит в соответствие оценку «истина», а кролику – «ложь».
Функция же , ассоциированная с предикатором «южнее», сопоставляет значение «истина» такой паре географических точек, первая из которых находится южнее второй (например, паре «Сочи, Москва») и ложь другим парам географических точек (например, «Санкт-Петербург, Краснодар»).
Предикаторы могут отличаться «местностью» - количеством аргументов:
- если в предикат входит один аргумент, такой предикат называют одноместным;
- два аргумента – двухместным и т. д.
Элементы языка логики предикатов
В языке логики предикатов используются следующие символы:
- Предметные переменные. Обычно обозначаются маленькими буквами конца латинского алфавита (x, y, z), по необходимости – с числовыми индексами.
- Предметные константы, являющиеся аналогом собственных имен в естественных языках. Обозначаются маленькими буквами латинского алфавита (a, b, c, …), по необходимости – с числовыми индексами.
- Предикаторы (или предикатные символы) – знаки отношений или свойств. Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита с верхними или нижними числовыми индексами.
- Предметно-функциональные символы, обозначаемые буквой f с верхними или нижними числовыми индексами.
-
- конъюнкция – союз «и»;
- дизъюнкция – союз «или»;
- строгая дизъюнкция, исключающее «или» - союз «либо»;
- импликация – союз «если … то …»;
- эквиваленция – союз «если и только если … то …» (равнозначность);
- отрицание – частица «не» («неверно, что ….»);
- кванторы существования и общности.
Технические знаки (запятые, скобки).
Важным элементом языка предикатов являются термы – аналоги имен в естественных языках:
- термом является любая предметная константа и любая предметная переменная;
- если в n-местный предикат подставить n термов, то будет получен новый терм;
- ничто кроме перечисленных выше пунктов не является термами.
Более широким понятием, чем термы, являются формулы. К ним относят аналоги повествовательных предложений, используемых в естественных языках, а также предикаты, которые в естественных языках явным образом не выделяются. Формула может быть получена подстановкой n терминов в n-местный предикат или путем применения к другим формулам логических союзов и кванторов.
Перевод высказываний с естественного языка на язык логики предикатов
Существует ряд правил перевода высказываний с естественного языка на язык логики предикатов:
- простое высказывание, в которому утверждается о наличии у отдельного предмета какого-либо свойства, записывается в виде формулы P(t), где P – одноместная предикаторная константа, отражающая это свойство, а t – терм, соответствующий имени предиката. Например, высказывание «Яблоко – это фрукт» на языке логики предикатов примет вид P(a), где а – предметная константа «яблоко», а P – предикатный символ «быть фруктом»;
- простые высказывания, в которых отрицается наличие у отдельного предмета какого-либо свойства, записывают как отрицание предиката. Например: «Яблоко не является овощем» можно записать как ┐Q(a), где Q – предикатный символ «быть овощем»;
- высказывания, утверждающие наличие между двумя или несколькими предметами отношения, записывается с помощью двухместного или n-местного предиката: R(a,b). Например: «Калининград западнее Омска» переведется как R(a,b), где a – Калининград, b – Омск, а предикатный символ R обозначать «быть западнее». Аналогично может быть построено и отрицание (отсутствие отношения);
- если высказывание в естественном языке содержит слова «всякий», «каждый», «все» или «существует такой», «для некоторых», при переводе на язык логики предикатов используют кванторы. Квантор записывается перед предметной переменной, к которой он относится, а затем следует предикаторная константа. Квантифицируемые переменные «перебирают» множество всех объектов из универсума рассмотрения, а роль квантора сводится к указанию той части объектов этого универсума, для которой выполнено содержащееся в высказывании утверждение. Например, логическая форма высказывания «Кто-то умён» может быть выражена с использованием квантора существования ∃ и переменной x, пробегающей по множеству людей, так; ∃xP (x), где символ Ρ соответствует одноместному предикатору «умный», а форма высказывания «Каждый знает кого-нибудь» — посредством формулы ∀x∃ yR (x, y), где квантифицируемые переменные x и y пробегают по тому же множеству, а символ R соответствует двухместному предикатору «знает». В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков.
