Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Язык логики предикатов

Общая характеристика логики предикатов

Определение 1

Язык логики предикатов – это один из искусственных языков, используемый в современной логике для анализа логической структуры простых высказываний.

Как следует из названия, язык логики предикатов используется в конкретном разделе логики – логике предикатов.

Определение 2

Логика предикатов – это раздел логики, исследующий рассуждения и другие языковые контексты, принимая во внимание внутреннюю структуру образующих их простых высказываний.

В логике предикатов осуществляется функциональная трактовка выражений языка. Это значит, что выражения рассматриваются знаки функций или знаки аргументов функций. Важной особенностью логики предикатов является то, что в ней к одной категории знаков (категории предикаторов, или предметно-истинностных функторов) относят:

  • общие имена («человек», «поселок», «жидкость»),
  • знаки свойств («прозрачный», «белый», «маленький»),
  • знаки отношений («больше», «южнее», «более щелочная»).

Предикаторы служат для репрезентации функций, возможными аргументами которой выступают объекты некоторого рассматриваемого универсума, а возможными значениями – оценки истинности (для случая классической логики – ложь и истина).

Например, предикатор «животное семейства кошачьих» представляет собой функцию, которая кошке поставит в соответствие оценку «истина», а кролику – «ложь».

Функция же , ассоциированная с предикатором «южнее», сопоставляет значение «истина» такой паре географических точек, первая из которых находится южнее второй (например, паре «Сочи, Москва») и ложь другим парам географических точек (например, «Санкт-Петербург, Краснодар»).

Предикаторы могут отличаться «местностью» - количеством аргументов:

  • если в предикат входит один аргумент, такой предикат называют одноместным;
  • два аргумента – двухместным и т. д.

Элементы языка логики предикатов

«Язык логики предикатов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

В языке логики предикатов используются следующие символы:

  1. Предметные переменные. Обычно обозначаются маленькими буквами конца латинского алфавита (x, y, z), по необходимости – с числовыми индексами.
  2. Предметные константы, являющиеся аналогом собственных имен в естественных языках. Обозначаются маленькими буквами латинского алфавита (a, b, c, …), по необходимости – с числовыми индексами.
  3. Предикаторы (или предикатные символы) – знаки отношений или свойств. Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита с верхними или нижними числовыми индексами.
  4. Предметно-функциональные символы, обозначаемые буквой f с верхними или нижними числовыми индексами.
  5. Логические союзы:

  6. Технические знаки (запятые, скобки).

Важным элементом языка предикатов являются термы – аналоги имен в естественных языках:

  • термом является любая предметная константа и любая предметная переменная;
  • если в n-местный предикат подставить n термов, то будет получен новый терм;
  • ничто кроме перечисленных выше пунктов не является термами.

Более широким понятием, чем термы, являются формулы. К ним относят аналоги повествовательных предложений, используемых в естественных языках, а также предикаты, которые в естественных языках явным образом не выделяются. Формула может быть получена подстановкой n терминов в n-местный предикат или путем применения к другим формулам логических союзов и кванторов.

Перевод высказываний с естественного языка на язык логики предикатов

Существует ряд правил перевода высказываний с естественного языка на язык логики предикатов:

  • простое высказывание, в которому утверждается о наличии у отдельного предмета какого-либо свойства, записывается в виде формулы P(t), где P – одноместная предикаторная константа, отражающая это свойство, а t – терм, соответствующий имени предиката. Например, высказывание «Яблоко – это фрукт» на языке логики предикатов примет вид P(a), где а – предметная константа «яблоко», а P – предикатный символ «быть фруктом»;
  • простые высказывания, в которых отрицается наличие у отдельного предмета какого-либо свойства, записывают как отрицание предиката. Например: «Яблоко не является овощем» можно записать как ┐Q(a), где Q – предикатный символ «быть овощем»;
  • высказывания, утверждающие наличие между двумя или несколькими предметами отношения, записывается с помощью двухместного или n-местного предиката: R(a,b). Например: «Калининград западнее Омска» переведется как R(a,b), где a – Калининград, b – Омск, а предикатный символ R обозначать «быть западнее». Аналогично может быть построено и отрицание (отсутствие отношения);
  • если высказывание в естественном языке содержит слова «всякий», «каждый», «все» или «существует такой», «для некоторых», при переводе на язык логики предикатов используют кванторы. Квантор записывается перед предметной переменной, к которой он относится, а затем следует предикаторная константа. Квантифицируемые переменные «перебирают» множество всех объектов из универсума рассмотрения, а роль квантора сводится к указанию той части объектов этого универсума, для которой выполнено содержащееся в высказывании утверждение. Например, логическая форма высказывания «Кто-то умён» может быть выражена с использованием квантора существования ∃ и переменной x, пробегающей по множеству людей, так; ∃xP (x), где символ Ρ соответствует одноместному предикатору «умный», а форма высказывания «Каждый знает кого-нибудь» — посредством формулы ∀x∃ yR (x, y), где квантифицируемые переменные x и y пробегают по тому же множеству, а символ R соответствует двухместному предикатору «знает». В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков.
Дата последнего обновления статьи: 29.10.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot