Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Как найти смешанное произведение векторов

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

¯α¯β=|¯α||¯β|cos(¯α,¯β)

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов ¯α и ¯β равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

¯α¯β=α1α2+β1β2

Обозначение: ¯α¯β.

Определение 2

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: ¯αх¯β.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. |¯αх¯β|=|¯α||¯β|sin(¯α,¯β)
  2. ¯αх¯β¯α, ¯αх¯β¯β
  3. (¯αх¯β,¯α,¯β) и (¯i,¯j,¯k) одинаково ориентированы (рис. 1)

«Как найти смешанное произведение векторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Понятие смешанного произведения векторов

Определение 3

Смешанным произведением векторов ¯α, ¯β и ¯γ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора ¯α на вектор векторного произведения ¯βх¯γ двух других векторов.

Обозначение: (¯α,¯β,¯γ).

Математически это выглядит следующим образом:

(¯α,¯β,¯γ)=¯α(¯βх¯γ)

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

  1. Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
  2. Если эти векторы будут являться компланарными.
Пример 1

Найти значение смешанного произведения векторов ¯α, ¯β и ¯γ, которые имеют координаты (0,0,5), (0,4,0) и (3,0,0), соответственно.

Решение.

Из определений 1, и 3 будем получать

(¯α,¯β,¯γ)=¯α(¯βх¯γ)=|¯a||¯βх¯γ|cos(¯α,¯βх¯γ)

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):

Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов ¯β и ¯γ

Видим, что эти векторы лежат на осях Ox и Oy, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться 900. Найдем длины этих векторов:

|¯β|=0+16+0=4

|¯γ|=9+0+0=3

Тогда, по определению 2, получим

|¯βх¯γ|=|¯α||¯β|sin90=431=12

Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор ¯βх¯γ принадлежит оси Oz и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами ¯α и ¯βх¯γ равняется 0.

Длина вектора ¯α

|¯α|=0+0+25=5

Получим

(¯α,¯β,¯γ)=|¯a||¯βх¯γ|cos(¯α,¯βх¯γ)=512cos0=60

Ответ: 60.

Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы ¯α, ¯β и ¯γ, которые будут иметь координаты (α1,α2,α3), (β1,β2,β3) и (γ1,γ2,γ3), соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

(¯α,¯β,¯γ)=|α1α2α3β1β2β3γ1γ2γ3|

Иначе, получим

¯αх¯β=α1β2γ3+α3β1γ2+α2β3γ1α3β2γ1α2β1γ3α1β3γ2

Пример 2

Найти значение смешанного произведения векторов ¯α, ¯β и ¯γ с координатами (1,1,0), (0,3,3) и (1,2,6).

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

(¯α,¯β,¯γ)=|110033126|=18+(3)+0060=189=9

Ответ: 9.

Свойства смешанного произведения векторов

Для произвольных четырех векторов ¯α,\overline{β},\overline{γ}и\overline{δ},атакжеr∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

(¯α,¯δ,¯γ)=¯α(¯δх¯γ)=(¯αх¯δ)¯γ

2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

(¯α,¯δ,¯γ)=(¯δ,¯γ,¯α)=(¯γ,¯α,¯δ)

3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

(¯α,¯δ,¯γ)=(¯β,¯α,¯γ)=(¯γ,¯δ,¯α)=(¯α,¯γ,¯δ)

4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

(r¯α,¯δ,¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)

(¯α,r¯δ,¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)

(overlieα,¯δ,r¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)

5) Справедливы равенства:

(¯α+¯β,¯δ,¯γ)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯β,¯δ,¯γ)

(¯α,¯δ+¯β,¯γ)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯α,¯β,¯γ)

(¯α,¯δ,¯γ+¯β)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯α,¯δ,¯β)

6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

S=|(¯α,¯β,¯c)|

Дата последнего обновления статьи: 19.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Как найти смешанное произведение векторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant