Предварительные сведения
Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.
Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
¯α¯β=|¯α||¯β|cos∠(¯α,¯β)
Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.
Скалярное произведение двух данных векторов ¯α и ¯β равняется сумме произведений их соответствующих координат.
Математически выглядит следующим образом
¯α¯β=α1α2+β1β2
Обозначение: ¯α⋅¯β.
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: ¯αх¯β.
Математически это выглядит следующим образом:
- |¯αх¯β|=|¯α||¯β|sin∠(¯α,¯β)
- ¯αх¯β⊥¯α, ¯αх¯β⊥¯β
- (¯αх¯β,¯α,¯β) и (¯i,¯j,¯k) одинаково ориентированы (рис. 1)
Понятие смешанного произведения векторов
Смешанным произведением векторов ¯α, ¯β и ¯γ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора ¯α на вектор векторного произведения ¯βх¯γ двух других векторов.
Обозначение: (¯α,¯β,¯γ).
Математически это выглядит следующим образом:
(¯α,¯β,¯γ)=¯α⋅(¯βх¯γ)
Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:
- Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
- Если эти векторы будут являться компланарными.
Найти значение смешанного произведения векторов ¯α, ¯β и ¯γ, которые имеют координаты (0,0,5), (0,4,0) и (3,0,0), соответственно.
Решение.
Из определений 1, и 3 будем получать
(¯α,¯β,¯γ)=¯α⋅(¯βх¯γ)=|¯a||¯βх¯γ|cos∠(¯α,¯βх¯γ)
Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):
Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов ¯β и ¯γ
Видим, что эти векторы лежат на осях Ox и Oy, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться 900. Найдем длины этих векторов:
|¯β|=√0+16+0=4
|¯γ|=√9+0+0=3
Тогда, по определению 2, получим
|¯βх¯γ|=|¯α||¯β|sin90∘=4⋅3⋅1=12
Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор ¯βх¯γ принадлежит оси Oz и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами ¯α и ¯βх¯γ равняется 0∘.
Длина вектора ¯α
|¯α|=√0+0+25=5
Получим
(¯α,¯β,¯γ)=|¯a||¯βх¯γ|cos∠(¯α,¯βх¯γ)=5⋅12⋅cos0∘=60
Ответ: 60.
Вычисление смешанного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы ¯α, ¯β и ¯γ, которые будут иметь координаты (α1,α2,α3), (β1,β2,β3) и (γ1,γ2,γ3), соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:
(¯α,¯β,¯γ)=|α1α2α3β1β2β3γ1γ2γ3|
Иначе, получим
¯αх¯β=α1β2γ3+α3β1γ2+α2β3γ1−α3β2γ1−α2β1γ3−α1β3γ2
Найти значение смешанного произведения векторов ¯α, ¯β и ¯γ с координатами (1,1,0), (0,3,3) и (−1,2,6).
Решение.
Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим
(¯α,¯β,¯γ)=|110033−126|=18+(−3)+0−0−6−0=18−9=9
Ответ: 9.
Свойства смешанного произведения векторов
Для произвольных четырех векторов ¯α,\overline{β},\overline{γ}и\overline{δ},атакжеr∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:
1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой
(¯α,¯δ,¯γ)=¯α⋅(¯δх¯γ)=(¯αх¯δ)⋅¯γ
2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически
(¯α,¯δ,¯γ)=(¯δ,¯γ,¯α)=(¯γ,¯α,¯δ)
3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак
(¯α,¯δ,¯γ)=−(¯β,¯α,¯γ)=−(¯γ,¯δ,¯α)=−(¯α,¯γ,¯δ)
4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:
(r¯α,¯δ,¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)
(¯α,r¯δ,¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)
(overlieα,¯δ,r¯γ)=r(¯α,¯δ,¯γ)
5) Справедливы равенства:
(¯α+¯β,¯δ,¯γ)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯β,¯δ,¯γ)
(¯α,¯δ+¯β,¯γ)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯α,¯β,¯γ)
(¯α,¯δ,¯γ+¯β)=(¯α,¯δ,¯γ)+(¯α,¯δ,¯β)
6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):
S=|(¯α,¯β,¯c)|