Как найти длину вектора

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие длины вектора

Для того, чтобы разобраться с понятием длины вектора, прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

$а) вектор $\overline{a}$. б) вектор $\overline{AB}$$

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$ .

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

«Как найти длину вектора» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ , где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$ , соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$ , имеющий координаты ${x,y}$ . Найти: длину этого вектора.

Решение.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$ . От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$ . Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$ , соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$ , следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$ , значит

$[OA_1 ]=x$ , $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=[OA_1]^2+[OA_2]^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$ , которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$ , соответственно.

Решение.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$ . Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ( $Y$ ) соответствующие координаты начальной точки ( $X$ ). Получим, что

$\overline{XY}=(7+1,3-5)=(8,-2)$

Теперь, найдя длину этого вектора по формуле, выведенной выше, мы и получим искомую длину. Получим:

$d=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Ответ: $2\sqrt{17}$ .

Замечание 1

Из этой задачи можно вывести формулу для вычисления такого расстояния. Пусть две точки имеют координаты ${(x',y')}$ и ${(x'',y'')}$ . Тогда длину между такими точками можно найти по следующей формуле:

$d=\sqrt{(x'-x'')^2+(y'-y'')^2}$

Пример 3

Пусть нам дан треугольник своими координатами вершин $(5,-9)$ , $(12,-2)$ и $(4,0)$ . Найдем его периметр.

Решение.

Найдем для начала длины всех его сторон по формуле из замечания к задаче 2.

Первая сторона равняется:

$\sqrt{(5-12)^2+(-9+2)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

Вторая сторона равняется:

$\sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2}=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$

Третья сторона равняется:

$\sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8^2+(-2)^2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Складывая, получим