Основные определения
Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:
- угла и треугольника;
- смежных углов;
- параллельных прямых.
Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.
Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.
На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $\angle ADB + \angle BDC = \angle ADC = 180^{\circ}$.
Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.
Теорема о сумме углов треугольника
Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:
Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$.
Приведём её доказательство.
Пусть дан произвольный $\triangle ABC$. Нужно доказать, что $\angle A + \angle B + \angle C=180^{\circ}$.
Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.
Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что углы 1 и 5 - накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $\angle 5 = \angle 1, \angle 4 = \angle 3$.
Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle 1 +\angle 2 +\angle 3 = 180^{\circ}$ или $\angle A + \angle B + \angle C=180^{\circ}$. Ч.т.д.
Внешний угол треугольника
В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:
Внешний угол треугольника - это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.
Имеем теорему:
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $\angle 4 +\angle 2 = 180^{\circ}$. По теореме о сумме углов:
$(\angle 1 +\angle 3)+\angle 2=180^{\circ}$. Отсюда следует, $\angle 4 = \angle 1 +\angle 3$. Ч.т.д.
Рассмотрим пример задачи на данную тему.
Задача. $\triangle ABC$ - равнобедренный. $AC$ - основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{\circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $\angle ADC = 90^{\circ}$.
По теореме о внешнем угле треугольника находим $\angle B$: $\angle B=180-60=120^{\circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $\angle A + \angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{\circ}$.
Рассмотрим $\triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{\circ}$, а $AC$ - гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.
Ответ: 18,5 см.
Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.
