Умножение вектора на число

Откладывание вектора от данной точки

Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Введем следующую теорему:

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

1. Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

   В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

2. Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

   Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

   
   
   Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

   Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

   Теорема доказана.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a\ }$ и действительное число $k$.

Свойства произведения вектора на число

1. Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.

   Доказательство.

   По определению 2, имеем $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a\ }\right|=0\cdot \left|\overrightarrow{a\ }\right|=0$, следовательно,$\overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }=\overrightarrow{0}$

2. Для любого вектора $\overrightarrow{a\ }$ и любого действительного числа $k$ векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ коллинеарны.

   Доказательство.

   Так как по определению 2, векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.

3. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив сочетательный закон:

   $$\left(mn\right)\overrightarrow{a\ }=m(n\overrightarrow{a\ })$$

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.

   
   
   Рисунок 3. Сочетательный закон

4. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив первый распределительный закон:

   $$\left(m+n\right)\overrightarrow{a\ }=m\overrightarrow{a\ }+n\overrightarrow{a\ }$$

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.

   
   
   Рисунок 4. Первый распределительный закон

5. Для любого действительного числа $m$ и векторов $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ справедлив второй распределительный закон:

   $$m\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=m\overrightarrow{a\ }+m\overrightarrow{b\ }$$

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.

   
   
   Рисунок 5. Второй распределительный закон

Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число