Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Все предметы / Математика / Декартовы координаты и векторы в пространстве / Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Откладывание вектора от данной точки

Перед тем как ввести понятие суммы, разности векторов и умножения вектора на число, вначале разберем такое понятие, как откладывание вектора от точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор единственный $\overrightarrow{a}$.

Доказательство.

Существование: Имеем два следующих случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

    Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором $\overrightarrow{KK}$.

  2. Вектор $\overrightarrow{a}$ не является нулевым.

    Пусть точка $A$ является началом вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Будем откладывать на прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис.2)



    Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сложение векторов. Правило треугольника

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Вектор $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ который получается из векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующим образом: От точки $A$ отложим $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, от точки $B$ отложим $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 3).



Рисунок 3.

Замечание 1

Также это определение называется правилом треугольника для сложения двух векторов.

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

  1. Для произвольного вектора $\overrightarrow{a}$ выполняется равенство

    \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\]
  2. Для произвольных точек $A,\ B\ и\ C$ справедливо следующее равенство

    \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 2

Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Вычитание векторов

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 3

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 4).



Рисунок 4.

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

То есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a\ }$ и действительное число $k$.

Определение 4

Произведением вектора $\overrightarrow{a\ }$ на действительное число $k$ называется вектор $\overrightarrow{b\ }$ удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора $\overrightarrow{b\ }$ равна $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }|$;

  2. Векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ сонаправлены, при $k\ge 0$ и противоположно направлены, если $k

Обозначение: $\ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }$.

Пример задачи

Пример 2

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}$



Рисунок 5.

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

\[\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1}\]

Так как $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}$

То есть

\[\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\]

ч. т. д.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис