Данный вопрос изучается в разделе высшей математики о дифференциальном исчислении функции нескольких переменных. Обычно этой теме предшествует изучение дифференциального исчисления функции одной переменной, где рассматриваются теория и практика предела функции, производной, касательной и нормали. Для решения заданий на тему данной статьи, необходимо помимо вышеперечисленных пунктов также уметь находить частные производные.
В данной статье будем исходить из того, что читателю известны основные понятия и методы математического анализа: понятия функции, предела и основные теоремы. Поэтому изложение этих основных понятий и сопутствующих методов в данной статье будут опущены. Также в данной статье не будет рассматриваться графическое представление, так как для его понимания нужно вводить дополнительно понятия градиента и других, что для решения примеров не обязательно.
Для облегчения понимания теоретической и практической частей, стоит напомнить, что изучение данного раздела должно происходить с отвлечением от физического или иного конкретного смысла той или иной величины (переменной). На практике подобный анализ находит своё место в различных расчётах, необходимых, например, в поиске природных закономерностей, моделирования работы производств или процессов, экономике и прочем.
Теоретическая часть
Касательная плоскость к поверхности $P$ в точке $M_0$ - это плоскость, которая проведена через точку $M_0$ и содержит касательные ко всем кривым, проходящим через $M_0$ и лежащим на поверхности $P$.
Уравнение касательной плоскости к поверхности $F(x,y,z)=0$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 1. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если поверхность $P$ задана уравнением $z=f(x,y)$, то:
Рисунок 2. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Предполагается, что частные производные существуют, непрерывны и хотя бы одна из них не равна нулю.
Нормаль к поверхности в точке $M_0$ - это прямая, которая проведена перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$.
Уравнение нормали к поверхности $F(x,y,z)$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 3. Уравнение нормали к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Или:
Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Практическая часть в примерах
Задана поверхность $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{22}=6$ в точке $T(6,6,8)$. Нужно составить уравнения по формулам из теоретической части.
Из
Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
следует $6(x-6)+3(y-6)+(z-8)=0; 6x-36+3y-18+z-8=6x+3y+z-62=0$;
$\frac{x-6}{6}+\frac{y-6}{3}+\frac{z-8}{1}$.
Задание то же. Задана поверхности $z=\frac{5y}{y^2-x}$ в точке $(2,-1)$.
Получается, что мы имеем абсциссу $x_0=2$ и ординату $y_0=-1$ точки касания. Найдём аппликату этой точки: $z_0=\frac{5\cdot(-1)}{1-2}=5.$ Для составления искомых уравнений нам потребуются значения частных производных в точке касания:
Рисунок 6. Значения частных производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Подставим значения:
Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Другие примеры имеют аналогичный характер.
