Свойства функции косинуса

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие косинуса

Перед изучением функции косинуса и её свойств, вспомним понятие самого косинуса. Определение косинуса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью тригонометрической окружности.

Определение 1

Косинусом острого угла называется отношение длины прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника (рис 1):

$cos\alpha =\frac{b}{c}$

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение 2

Косинусом острого угла называется абсцисса единичной окружности, которая получается из точки $(1,\ 0)$ путем поворота на угол $\alpha$ радиан (рис. 2).

Рисунок 2. Значение косинуса с помощью единичной окружности.

Введем таблицу некоторых значений косинуса (таблица 1).

Рисунок 3. Значения косинуса.

Свойства функции $f(x)=cosx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=cosx$ .

Область определения -- все числа.
Так как по определению 2 значение косинуса определяется с помощью единичной окружности, то область значения данной функции отрезок $[-1,\ 1]$ .
$f\left(-x\right)={cos \left(-x\right)\ }=cosx=f(x)$ , следовательно, функция $f\left(x\right)=cosx$ четна.
$f\left(x+2\pi \right)={cos \left(x+2\pi \right)\ }=cosx=f(x)$ , следовательно, функция $f\left(x\right)=cosx$ периодическая с минимальным периодом $2\pi$ .
Пересечение с осями координат: При $x=0$ , $f\left(0\right)=cos0=1$ . При $y=0$ , $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$ .
Функция выше оси $Ox$ при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right),n\in Z$ .
Функция ниже оси $Ox$ при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right),n\in Z$ .
$f' (x)=(cosx)'=-sinx$ .
$-sinx=0$
$sinx=0$
$x=\pi n,\ n\in Z$

Функция $f\left(x\right)=cosx$ возрастает, при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n)$ . Функция $f\left(x\right)=cosx$ убывает при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n)$ Точки максимума $(2\pi n,1)$ . Точки минимума $(\pi +2\pi n,-1)$ .