Основные понятия
Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.
Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:
f(−x)=f(x)Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:
f(x)=f(x+T)T -- период функции.
Четность и нечетность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):
Рисунок 1.
Здесь →OA1=(x1,y1) и →OA2=(x2,y2) -- симметричные относительно оси Ox векторы единичной длины.
Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как tgx=sinxcosx, то
Так как сtgx=cosxsinx, то
Периодичность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).
Рисунок 2.
Здесь →OA=(x,y) -- вектор единичной длины.
Сделаем полный оборот вектором →OA. То есть повернем данный вектор на 2π радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что
То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом T=2π.
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как tgx=sinxcosx, то
Так как сtgx=cosxsinx, то
Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций
Доказать следующие утверждения:
а) tg3850=tg250
б) cos(−13π) =−1
в) sin(−7210)=−sin10
Решение.
а) tg3850=tg250
Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом 3600, то получим
tg3850=tg(3600+250)=tg250б) cos(−13π) =−1
Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом 2π, то получим
cos(−13π) =cos13π =cos(π+6⋅2π)=cosπ =−1в) sin(−7210)=−sin10
Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом 3600, то получим
sin(−7210)=−sin7210=−sin(7200+10) =−sin10
