Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Комбинаторика / Теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании''. Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании''. Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.