Согласно теореме Вейерштрасса, любая монотонная ограниченная последовательность ${x_n}$ имеет конечный предел. Он равен точной верхней границе для нестрого возрастающей последовательности и точной нижней для нестрого убывающей.
Математически это выражается как
$\lim\limits_{n \to \infty} = \sup x_n$ - для возрастающих и
$\lim\limits_{n \to \infty} = \inf x_n$ - для убывающих последовательностей.
Теорема Вейерштрасса устанавливает пределы монотонных ограниченных последовательностей, но не содержит способов нахождения пределов.
Рассмотрим неубывающую ограниченную последовательность. Для всех $n$ в ней справедливо неравенство:
$x_{n + 1} \geq x_n$.
Верхняя граница последовательности:
$a = \sup \{x_n\}$
Это значит, что
- для всех $n$ соблюдается $x_n \leq a$;
- для любого числа $\epsilon \gt 0$ можно найти натуральное число $N$, такое, что
$x_N \gt a - \epsilon$.
Всегда существуют $x_n$, такие, что:
$x_n \gt x_N \gt a - \epsilon$.
$a - \epsilon \lt x_n \leq a$
$a \lt a + \epsilon \implies a - \epsilon \lt x_n \lt a + \epsilon$
или
$|x_n - a| \lt \epsilon$ при $n > N$.
Это и означает, что число $a$ является пределом последовательности.
Для невозрастающей ограниченной последовательности рассуждения аналогичны. Полное доказательство теоремы Вейерштрасса показывает, что пределами неограниченной неубывающей и неограниченной невозрастающей последовательностей являются, соответственно, $\infty$ и $-\infty$.
Доказать, что последовательность $\{x_n\} = \{\frac{10}{n}\}$ сходится.
- Члены последовательности всегда больше $0$, поскольку числитель и знаменатель при натуральных значениях $n$ положительны.
- Последовательность является монотонной, т.к. разность между любыми ее соседними членами $x_n - x_{n +1}$ всегда больше нуля.
Выразим предел как:
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{10}{n} = \Big[\frac{10}{\infty}\Big] = 0 $
Ответ: последовательность ограничена снизу, убывающая и монотонная, следовательно у нее есть нижний предел. В данном случае это число 0.
