Согласно теореме Вейерштрасса, любая монотонная ограниченная последовательность xn имеет конечный предел. Он равен точной верхней границе для нестрого возрастающей последовательности и точной нижней для нестрого убывающей.
Математически это выражается как
limn→∞=supxn - для возрастающих и
limn→∞=infxn - для убывающих последовательностей.
Теорема Вейерштрасса устанавливает пределы монотонных ограниченных последовательностей, но не содержит способов нахождения пределов.
Рассмотрим неубывающую ограниченную последовательность. Для всех n в ней справедливо неравенство:
xn+1≥xn.
Верхняя граница последовательности:
a=sup{xn}
Это значит, что
- для всех n соблюдается xn≤a;
- для любого числа ϵ>0 можно найти натуральное число N, такое, что
xN>a−ϵ.
Всегда существуют xn, такие, что:
xn>xN>a−ϵ.
a−ϵ<xn≤a
a<a+ϵ⟹a−ϵ<xn<a+ϵ
или
|xn−a|<ϵ при n>N.
Это и означает, что число a является пределом последовательности.
Для невозрастающей ограниченной последовательности рассуждения аналогичны. Полное доказательство теоремы Вейерштрасса показывает, что пределами неограниченной неубывающей и неограниченной невозрастающей последовательностей являются, соответственно, ∞ и −∞.
Доказать, что последовательность {xn}={10n} сходится.
- Члены последовательности всегда больше 0, поскольку числитель и знаменатель при натуральных значениях n положительны.
- Последовательность является монотонной, т.к. разность между любыми ее соседними членами xn−xn+1 всегда больше нуля.
Выразим предел как:
limn→∞10n=[10∞]=0
Ответ: последовательность ограничена снизу, убывающая и монотонная, следовательно у нее есть нижний предел. В данном случае это число 0.
