Степенная функция

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.

Степенная функция с натуральным показателем

Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.

Определение 1

Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$ .

Рисунок 1.

$a$ - основание степени.

$n$ - показатель степени.

Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.

Определение 2

$f\left(x\right)=x^n$ ( $n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.

Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ( $n\in N)$ .

Свойства степенной функции с натуральным четным показателем

Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- $[0,+\infty )$ .
$f'(x)=\left(x^{2n}\right)'=2n\cdot x^{2n-1}$

$2n\cdot x^{2n-1}=0$
$x=0$
Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty )$ .
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
$f{''}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}'=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:

${\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty$
${\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty$
График (рис. 2).

<a href= График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$ ">

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$

«Степенная функция» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- все действительные числа.
$f'\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)'=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция возрастает на всей области определения.
$f\left(x\right)0$ , при $x\in (0,+\infty )$ .
$f{''\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}'=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$

$2\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\cdot x^{2n-3}=0$
$x=0$
Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty )$ .
График (рис. 3).

$График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$$

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$

Степенная функция с целым показателем

Для начала введем понятие степени с целым показателем.

Определение 3

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

Рисунок 4.

Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ( $n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$ . Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$ .
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения:

Если показатель четный, то $(0,+\infty )$ , если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$ .
При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$ . При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty )$ . и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$ .
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
График (рис. 4).

График функции

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Определение 5

Степень действительного числа $a$ c рациональным показателем $n$ определяется формулой:

$a^r=\sqrt[n]{a^m}$

Определение 6

$f\left(x\right)=x^r$ ( $r\in Q)$ называется степенной функцией с рациональным показателем.

Определение 7

Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение вида $a^{\alpha }$ , значение которого равно пределу последовательности $a^{{\alpha }_0},\ a^{{\alpha }_1},\ a^{{\alpha }_2},\dots$ , где ${\alpha }_0,\ {\alpha }_1,{\alpha }_2$ последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$ .

Определение 8

$f\left(x\right)=x^r$ ( $r\in J)$ называется степенной функцией с иррациональным показателем.

Приведем графики степенных функций с рациональным и иррациональным показателем (рис. 5). Рассмотреть, аналогично, свойства этих функции оставим читателю.

$График функции $f\left(x\right)=x^r$$

Рисунок 6. График функции $f\left(x\right)=x^r$