Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Статистические оценки параметров распределения
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при известном ${\mathbf \sigma }$

Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Доверительный интервал -- интервал $(Q^*-\delta ,Q^*+\delta )$ , который покрывает неизвестную величину $Q$ c надежностью $\gamma$ .

Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma$ . Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами

Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma$ .

Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство

Из нее получим

Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta$ .

Напомним таблицу значений функции $Ф\left(t\right)$ :

$Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$$

Рисунок 1. Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$

Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при неизвестном ${\mathbf \sigma }$

В этом случае мы будем пользоваться значением исправленной дисперсии $S^2$ . Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma$ на $S$ , получим:

Пример задач на нахождение доверительного интервала

Пример 1

Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$ . Пусть объем выборки $n=64$ , а надежность равна $\gamma =0,95$ . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.

Решение:

Нам необходимо найти интервал ( $\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta )$ .

Как мы видели выше

$\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}$

Параметр $t$ найдем из формулы

$2Ф\left(t\right)=\gamma$

Откуда

$Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475$

Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$ .

Получаем:

$\delta =\frac{1,96}{2}=0,98$

Ответ: ( $\overline{x}-0,98,\overline{x}+0,98)$ .

Пример 2

Пусть выборка имеет точность $\delta =0,6$ и надежность $\gamma =0,95$ . При этом величина $X$ имеет нормальное распределение с $\sigma =2,4$ . Найти минимальный объем выборки.