Параллельный перенос и поворот

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a}$ .

Определение 1

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{a}$ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Теорема 1

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M\ и\ N$ . Пусть при их параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{a}$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$ , соответственно (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как, по определению 1, $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{{NN}_1}=\overrightarrow{a}$ , то , $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{{NN}_1}$ , следовательно, из определения равных векторов получим

Значит четырехугольник ${MM}_1N_1N$ -- параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$ . То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ .

Определение 2

Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что ${OM}_1=OM,\ \angle M{OM}_1=\angle \alpha$ (Рис. 3).

Рисунок 3. Поворот

«Параллельный перенос и поворот» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Введем следующую теорему.

Теорема 2

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M\ и\ N$ . Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$ , соответственно (рис. 4).

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, ${OM}_1=OM,\ {ON}_1=ON$ и $\overrightarrow{{NN}_1}=\overrightarrow{a}$ , а , $\angle MON=\angle M_1ON_1$ , то

Следовательно, $MN=M_1N_1$ . То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Пример 1

Построить треугольник $A_1B_1C_1$ ,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол ${45}^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$ .

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$ . Так как поворот производится на угол, равный ${45}^0$ , а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ -- середины стороны $AC$ . По определению, отрезок $BA_1=BA$ . Построим его (Рис. 5).