Действительная функция ξ=φ(ω) определенная на измеримом пространстве {Ω,F} называется измеримой или случайной величиной, если
∀B⊂B(R):{ω:φ(ω)⊂B}⊂Fили
прообраз f−1(B)={ω:φ(ω)⊂B}
является измеримым множеством в Ω.
Вероятностная мера Pξ на {R,B(R)} с вероятностью Pξ=P{ω:φ(ω)⊂B}, B⊂B(R), называется распределением вероятностей случайной величины ξ на измеримом пространстве {R,B(R)}.
Функция
\[F_{\xi } (x)=P(\omega :{\rm \; }\varphi (\omega ) это функция распределения случайной величины ξ=φ(ω).Свойства функции распределения:
- Функция распределения случайной величины определена на всей области ∀x∈(−∞,+∞).
- Функция распределения Fξ(x) -- неубывающая функция, то есть
- ∀x1,x2∈R: $x_{1}
- Функция распределения Fξ(x) непрерывна слева в любой точке действительной оси, то есть ∀x0∈R,limx→x0−0Fξ(x)=Fξ(x0).
- Функция распределения случайной величины имеет не более чем счетное число разрывов 1-го рода.
- Fξ(−∞)=0.
- Fξ(+∞)=1.
Всякая функция, которой подходят перечисленные свойства, называется функцией распределения некой случайной величины и наоборот.
Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита ξ, η, ζ, … .
Для применения функций распределения в инженерных и практических расчетах, обычно, случайные величины: дискретные и непрерывные, - рассматривают независимо.
Случайной величиной являются
- число выпавших очков на грани при подбрасывании игральной кости назовем дискретной случайной величиной;
- число выпадений герба при однократном подбрасывании монеты назовем дискретной случайной величиной;
- время безотказной работы телевизора назовем непрерывной случайной величиной;
- погрешности измерений назовем непрерывной случайной величиной.
Дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному событию ω ставит в соответствие одно из конечного или счетного набора
x1,x2,...,xn,n∈N={1,2,3,...}.Дискретная случайная величина полностью задается своим рядом распределения.
Пускай случайная величина ξ принимает значения $x_{1}
Таблица, состоящая из двух строк называется рядом распределения (табл.1, 2)дискретной случайной величины если в верхней строке перечислены все возможные значения xi случайной величины, а в нижней -- вероятности pi=P(ξ=xi) того, что случайная величина ξ примет эти значения, причем ∑ipi=1.
Таблица 1
или
Таблица 2
Графическим представлением ряда распределения является многоугольник распределения. Если на плоскости построить точки (xi,pi), i=1,2,3,...,n, и соединить их отрезками прямых, то полученная ломаная и называется многоугольником распределения дискретной случайной величины (рис. 1)
Для вычисления функции распределения дискретной случайной величины, имеем формулу
$F_{\xi } (x)=P(\xi
Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина это функцию ξ=φ(ω), множеством значений которой является некоторый числовой интервал (a,b), a,b∈R, $a
Функция ρξ(x) - это плотность распределения вероятностей (или плотностью распределения) непрерывной случайной величины ξ, если она удовлетворяет условиям:
- ∀x∈R ρξ(x)≥0;
- ∞∫−∞ρξ(x)dx=1.
Легко показать, что
Fξ(x)=x∫−∞ρξ(t)dt.Следствия свойств функции распределения
Некоторые полезные следствия свойств функции распределения случайной величины:
- 0≤Fξ(x)≤1, ∀x∈R;
- $P(a\le \xi
- $P(a\le \xi
- P(x≤ξ≤x+dx)=ρξ(x)dx;
- P(ξ=x)=Fξ(x+0)−Fξ(x−0);
- P(ξ≤x)=Fξ(x+0).
Функция распределения это вероятность и следовательно безразмерна, а плотность, как следует из формулы:
ρξ(x)=dFξ(x)dxимеет размерность обратную времени. Кроме того, сравнивая законы дискретных и непрерывных случайных величин, легко заметить, что аналогом плотности является ряд распределения дискретной случайной величины.
