Линейные уравнения с двумя переменными
Уравнение вида ax+by=c, где x и y - неизвестные переменные, а a, b и c - некоторые числа, причем a и b отличны от нуля, называется линейным уравнением с двумя переменными.
4x+2y=4 - линейное уравнение с двумя переменными.
Пара чисел называется решением линейного уравнения с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.
Пара чисел (1, 2) является решением линейного уравнения 2x+y=4.
Свойства линейных уравнений с двумя переменными:
-
К уравнению можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.
-
Уравнение можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число.
Уравнения
2x+y=4 2x+y+1=5 3(2x+y+1)=15являются равносильными.
График линейного уравнения с двумя переменными
Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.
Построим график линейного уравнения 2x−y=−3
Для этого сначала выразим переменную y через x:
y=2x+3Видим, что мы получили уравнение линейной функции.
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть x=1, тогда y=5. Пусть x=−1, тогда y=1. Проведем прямую через точки (−1,1) и (1, 5). Получим
Рисунок 1.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Системой линейных уравнений с двумя переменными называется такая система уравнений, которая в своем составе имеет два и более линейных уравнений с двумя переменными.
Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.
Рисунок 2.
Как мы уже знаем, график каждого из данных уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений - пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 3)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 4))
Рисунок 3. Система имеет 1 решение
Рисунок 4. Система решений не имеет
Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными
Найти графическое решение уравнения x−y=1
Решение:
Вначале выразим переменную y через x:
y=x−1Видим, что мы получили уравнение линейной функции.
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть x=1, тогда y=0. Пусть x=0, тогда y=−1. Проведем прямую через точки (1,0) и (0, −1). Получим
Рисунок 5.
Это и есть графический вид решения системы с двумя переменными.
