Системы линейных уравнений

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие системы линейных уравнений

Для того чтобы раскрыть данное понятие, рассмотрим следующую задачу.

Пример 1

Пусть имеется два числа. Если из первого числа вычесть удвоенное второе число, получим число $6$ . Если же к утроенному первому числу прибавить удвоенное второе, то получим число $-6$ . Найти эти два числа.

Для решения этой задачи обозначим первое число через $x$ , а второе число через $y$ .

Так как если из первого числа вычесть удвоенное второе число получим число $6$ , то получим следующее уравнение:

x - 2 y = 6

$x-2y=6$

А так как если к утроенному первому числу прибавить удвоенное второе, то получим число $-6$ , то имеем уравнение:

3 x + 2 y = - 6

$3x+2y=-6$

Мы получили два разных линейных уравнений с двумя неизвестными. В этом случае для решения данной задачи мы имеем дело с решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Системы уравнений записываются следующим образом:

Рисунок 1.

Определение 1

Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.

Способы решения систем линейных уравнений

Существуют три способа решения систем линейных уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$ , затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$
Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».
Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Определение 2

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.

«Системы линейных уравнений» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Количество корней линейного уравнения

График каждого из уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений - пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 2)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 3))

Рисунок 2. Система имеет 1 решение

Рисунок 3. Система решений не имеет

В этой главе мы ограничимся нахождением решений систем уравнений графическим способом.

Пример решения задач на использование систем линейных уравнений

Пример 2

Дорешаем задачу 1.

Рисунок 4.

Вначале выразим переменные $y$ через $x$ :

Рисунок 5.

Изобразим решение:

Рисунок 6.

Ответ: $0$ и $-3$ .

Пример 3

Составить систему уравнений для данной задачи: Пусть даны два числа. Если второе число умножить на два, то оно будет на $1$ больше первого. Сумма чисел равна $45$ . Найти данные числа.

Решение:

Для решения этой задачи обозначим первое число через $x$ , а второе число через $y$ .

Так как сумма чисел равна $45$ , то первое уравнение имеет вид $x+y=45$ .