Квадратные неравенства

Определение квадратного неравенства

Как видно из примера, не все элементы неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ присутствуют.

Например, в неравенстве $\frac{5}{11} y^2+\sqrt{11} y>0$ нет свободного члена (слагаемое $с$), а в неравенстве $11z^2+8 \le 0$ нет слагаемого с коэффициентом $b$. Такие неравенства также являются квадратными, но их еще называют неполными квадратными неравенствами. Это лишь означает, что коэффициенты $b$ или $с$ равны нулю.

Методы решения квадратных неравенств

При решении квадратных неравенств используют такие основные методы:

• графический;
• метод интервалов;
• выделения квадрата двучлена.

Графический способ

Данные промежутки и являются решением квадратного неравенства.

Метод интервалов

Решениями квадратного неравенства со знаком $«»$ – положительные промежутки, со знаками $«≤»$ и $«≥»$ – отрицательные и положительные промежутки (соответственно), включая точки, которые отвечают нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Метод решения квадратного неравенства выделением квадрата двучлена заключается в переходе к равносильному неравенству вида $(x-n)^2 > m$ (или со знаком $

Неравенства, которые сводятся к квадратным

Например, при переносе всех слагаемых неравенства $7x > 6-3x^2$ из правой части в левую получается квадратное неравенство вида $3x^2+7x-6 > 0$.

Если переставить в левой части неравенства $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ слагаемые в порядке убывания степени переменной $у$, то это приведет к равносильному квадратному неравенству вида $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.

При решении рациональных неравенств часто используют приведение их к квадратным неравенствам. При этом необходимо перенести все слагаемые в левую часть и преобразовать получившееся выражение к виду квадратного трехчлена.