Определение квадратного неравенства
Квадратным неравенством называют неравенство вида
$ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $
где $a$, $b$, $c$ – действительные числа и $a \ne 0$,
$x$ – переменная.
Квадратным неравенство называется т.к. переменная возведена в квадрат. Также квадратные неравенства называют неравенствами второй степени.
Пример.
$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – квадратные неравенства.
Как видно из примера, не все элементы неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ присутствуют.
Например, в неравенстве $\frac{5}{11} y^2+\sqrt{11} y>0$ нет свободного члена (слагаемое $с$), а в неравенстве $11z^2+8 \le 0$ нет слагаемого с коэффициентом $b$. Такие неравенства также являются квадратными, но их еще называют неполными квадратными неравенствами. Это лишь означает, что коэффициенты $b$ или $с$ равны нулю.
Методы решения квадратных неравенств
При решении квадратных неравенств используют такие основные методы:
- графический;
- метод интервалов;
- выделения квадрата двучлена.
Графический способ
Графический способ решения квадратных неравенств $ax^2+bx+c > 0$ (или со знаком $
Данные промежутки и являются решением квадратного неравенства.
Метод интервалов
Метод интервалов решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $
Решениями квадратного неравенства со знаком $«»$ – положительные промежутки, со знаками $«≤»$ и $«≥»$ – отрицательные и положительные промежутки (соответственно), включая точки, которые отвечают нулям трехчлена.
Выделение квадрата двучлена
Метод решения квадратного неравенства выделением квадрата двучлена заключается в переходе к равносильному неравенству вида $(x-n)^2 > m$ (или со знаком $
Неравенства, которые сводятся к квадратным
Самым простым способом приведения неравенств к квадратным может быть перестановка в исходном неравенстве слагаемых или перенос их, например, из правой части в левую.
Например, при переносе всех слагаемых неравенства $7x > 6-3x^2$ из правой части в левую получается квадратное неравенство вида $3x^2+7x-6 > 0$.
Если переставить в левой части неравенства $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ слагаемые в порядке убывания степени переменной $у$, то это приведет к равносильному квадратному неравенству вида $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.
При решении рациональных неравенств часто используют приведение их к квадратным неравенствам. При этом необходимо перенести все слагаемые в левую часть и преобразовать получившееся выражение к виду квадратного трехчлена.
Пример.
Привести неравенство $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ к квадратному.
Решение.
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.
Используя формулы сокращенного умножения и раскрывая скобки, упростим выражение в левой части неравенства:
$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;
$x^2-21,5x-19 > 0$.
Полученное квадратное неравенство далее можно решить одним из указанных выше способов.
Ответ: $x^2-21,5x-19 > 0$.
