Координаты на плоскости

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью.

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые, на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную, или декартовую, систему координат, которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$ , а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$ . При записи координат точки сначала записывается координата $x$ , а затем координата $y$ .

«Координаты на плоскости» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$ , а точка $B (–1; 4)$ .

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение.

Построение точки $A$ :

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$ .

Построение точки $B$ :

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$ .

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$ .

Решение.

Построение точки $C$ :

отложим число $3$ на оси $x$ ;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$ .

Построение точки $D$ :

отложим число $2$ на оси $y$ ;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$ .

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$ , а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$ .

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение.

Определим координаты точки $A$ . Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ , пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$ . Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$ . Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ , пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$ . Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$ . Т.к. она расположена на оси $y$ , то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$ . Таким образом, точка $C (0; –2)$ .

Определим координаты точки $D$ . Т.к. она находится на оси $x$ , то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$ . Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение.

Построение точки $E$ :

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$ ;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$ :

координата $y=0$ , значит, точка лежит на оси $x$ ;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$ :

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$ ;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$ ;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$ :

координата $x=0$ , значит, точка лежит на оси $y$ ;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$ :

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$ , и на оси $x$ , следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).