Теорема о производной произведения функций
Нахождение производной функции называют дифференцированием. Чтобы научиться находить производные, необходимо знать правила дифференцирования. Они связаны с арифметическими действиями, а именно включают в себя правила производных от суммы функций, произведения двух функций и отношения двух функций. В этой статье рассмотрим, как находить производные от умножения двух чисел.
Производная от умножения двух чисел находится по следующему правилу дифференцирования: $(u\cdot v)' = u'v + uv'$. Словесно это правило объясняется в теореме о производной произведения функций.
Если в т. $x$ функции $f(x)$ и $g(x)$ имеются производные, то в точке $x$ произведение этих функций имеет производную, которая равна сумме произведений одной из данных функций и производной другой.
$(f(x)g(x))'=f(x)g('(x)+f'(x)g(x).$
Для упрощения этой записи в правиле о произведении вместо $f(x)$ используется $u$, а вместо $g(x)$ - $v$.
Приведём доказательство.
Положим $y=f(x)g(x)$.
$y+\Delta y=(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x)).$
$\Delta y=(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)=f(x)\Delta g(x)+g(x)\Delta f(x)+\Delta f(x)\Delta g(x).$
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}+\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x}+\frac{\Delta f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}.$
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f(x)\lim\limits_{x\to 0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+g(x)\lim\limits_{x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}+\lim\limits_{x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\lim\limits_{x\to 0}\Delta g(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+f'(x)\cdot 0.$
Формула доказана.
Теорема распространяется на произведение любого количества дифференцируемых функций. Для примера запишем правило для трёх множителей, используя упрощённую запись:
$(u\cdot v\cdot w)'=uvw'+uv'w+u'vw.$
Если положить $g(x)=k$ и воспользоваться теоремой о производной произведений, то получим равенство $(k(f(x))'=kf'(x).$ Полученное равенство сформулируем словесно в следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Примеры вычислений
Рассмотрим примеры с производной функции с умножением двух чисел.
Условие. Найти $y'$ если $y=(x+6)(x-7).$
Решение. По теореме получаем: $y'=(x+6)(x-7)'+(x+6)'(x-7)=(x+6)(1-0)+(1+0)(x-7)=(x+6)+(x-7)=x+6+x-7=2x-1.$
Ответ. $y'=2x-1.$
Условие. Найти производную $y=x^4\cdot \sin x$.
Решение. Наша функция содержит произведение двух функций $y=x^4$ и $y = \sin x$. По правилу $(u\cdot v)' = u'v + uv'$ получаем
$y'=(x^4 \cdot \sin x)'=(x^4)' \cdot \sin x + x^4\cdot(\sin x)' $.
Чтобы продолжить, необходимо вспомнить следующие формулы: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ и $(\sin x)'=\cos x$.
Можем получить ответ: $y'= (x^4)' \cdot \sin x + x^4\cdot(\sin x)'=4x^3\cdot \sin x +x^4\cdot\cos x$.
Выполним пример задания по решению уравнения.
Условие. Нужно решить уравнение $f'(x) - 2x\ln x=x^2-2$, где $f(x)=x^2\cdot\ln x$.
Решение. Для начала найдём производную. Для этого напомним ещё одну формулу производной: $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.
$f'(x)=2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x +x.$
Получаем уравнение вида:
$2x\ln x + x-2x\ln x=x^2-2$.
Сокращаем: $x^2-x-2=0$. Получается $x_1=-1$ и $x_2=2$. Корень $-1$ нам не подходит, так как область определения функции: $x>0$.
Имеем в ответе только корень $2$.
Рассмотрим пример нахождения второй производной функции с умножением двух чисел.
Условие. Найти вторую производную функции $y=x6^x$.
Решение. Производная второго порядка или вторая производная - это производная от первой производной. В свою очередь, первая производная получается из продифференцированной функции. Формула второй производной: $y''=(y')'$.
Вспомним следующие формулы производных элементарных функций: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ и $(a^x)'=a^x\ln a$.
Теперь приступаем непосредственно к нахождению первой производной: $y'=(x6^x)'=1\cdot 6^x + x\cdot 6^x \ln 6 = 6^x (1+x\ln 6)$.
Далее перейдём к нахождению второй производной: $y''=(6^x(1+x\ln 6))'$.
Необходимо вспомнить правило дифференциорвания сложения $(u+v)'=u'+v'$ и формулу производной элементарной функции $(c)'=0$.
Промежуточный шаг: $(1+(x\ln 6))'=0+x'\ln6 + x(\ln6)'=0+0+\ln 6$.
В итоге:
$y'' = 6^x\ln 6\cdot(1+x\ln6)+6^x\cdot(0+\ln 6)=6^x\ln 6\cdot(1+x\ln6) +6^x\ln 6 =6^x\ln 6 + 6^x\ln 6(\ln 6)+6^x\ln 6=6^x\ln 6(2+x\ln6).$
Ответ. $y'=6^x\ln 6(2+x\ln6).$
Таким образом, мы рассмотрели теорему о производной произведения функций и решили несколько примеров.
