Производная от экспоненты в степени х

Основные понятия

Прежде чем разобрать вопрос о производной от экспоненты в степени $x$, напомним определения

1. функции;
2. предела последовательности;
3. производной;
4. экспоненты.

Это необходимо для ясного понимания производной от экспоненты в степени $x$.

Возьмём $y=f(x)$, где $x$ и $y$ являются переменными величинами. Здесь $x$ называется аргументом, а $y$ - функцией. Аргумент может принимать произвольные значения. В свою очередь, переменная $y$ изменяется по определённому закону в зависимости от аргумента. То есть аргумент $x$ - это независимая переменная, а функция $y$ - это зависимая переменная. Любому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

Если каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, ...$ поставить в соответствие в силу некоторого закона число $x_n$, то говорят, что определена последовательность чисел $x_1,x_2,...,x_n$. Иначе такая последовательность записывается как $\{x_n\}$. Все числа $x_n$ называют членами или элементами последовательности.

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется следующий предел:

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o}$. Он обозначается $f'(x_0)$.

Число $e$ равно следующему пределу:

$e=\lim\limits_{x\to\infty} (1+\frac{1}{n})\approx2,718281828459045...$

В данном пределе $n$ это натуральное или действительное число.

Владея понятиями о пределе, производной и экспоненте, можем приступить к доказательству формулы $(e^x)'=e^x$.

Вывод производной от экспоненты в степени $x$

Имеем $e^x$, где $x: -\infty

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}$.

По свойству экспоненты $e^{a+bx}=e^a*e^b$ можем преобразовать числитель предела:

$e^{x+\Delta x}-e^x = e^x*e^{\Delta x}-e^x = e^x(e^{\Delta x}-1)$.

То есть $y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$.

Обозначим $t=e^{\Delta x}-1$. Получим $e^{\Delta x}=t+1$, а по свойству логарифма выходит, что $\Delta x = ln(t+1)$.

Так как экспонента непрерывна, имеем $\lim\limits_{\Delta x\to 0} e^{\Delta x}=e^0=1.$ Поэтому если $\Delta x\to 0$, то и $t \to 0$.

В результате покажем преобразование:

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=e^x\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{ln(t+1)}$.

Обозначим $n=\frac {1}{t}$, тогда $t=\frac{1}{n}$. Получается, что если $t\to 0$, то $n\to\infty$.

Преобразуем наш предел:

$y'=e^x\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{ln(t+1)}=e^x\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n\cdot ln(\frac{1}{n}+1)^n}$.

По свойству логарифма $b\cdot ln c=ln c^b$ имеем

$n\cdot ln (\frac{1}{n}+1)=ln(\frac{1}{n}+1)^n=ln(1+\frac{1}{n})^n$.

Предел преобразуется следующим образом:

$y'=e^x\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n\cdot ln(\frac{1}{n}+1)} = e^x\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{n}+1)^n}= e^x\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} ln(\frac{1}{n}+1)^n}$.

Согласно свойству непрерывности логарифма и свойства пределов для непрерывной функции: $\lim\limits_{x\to x_0}ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, где $f(x)$ имеет положительный предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$. Итак, в связи с тем, что логарифм непрерывен и существует положительный предел $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+1)^n$, то можем вывести:

$\lim\limits_{n\to\infty}ln(1+\frac{1}{n})^n=ln\lim\limits_{n\to\infty}ln(1+\frac{1}{n})^n=ln e=1$.

Воспользуемся значением второго замечательного предела $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$. Получаем:

$y'= e^x\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} ln(\frac{1}{n}+1)^n} = e^x\cdot\frac{1}{ln e} = e^x\cdot\frac{1}{1}=e^x$.

Таким образом, мы вывели формулу производной экспоненты и можем утверждать, что производная от экспоненты в степени $x$ эквивалентна экспоненте в степени $x$:

$(e^x)'=e^x$.

Существуют также другие способы вывода этой формулы с использованием другим формул и правил.

Таким образом, мы вывели формулу $(e^x)'=e^x$, при этом дав определения основным понятиям, разобрали пример нахождения производной функции с экспонентой в качестве одного из слагаемых.