Рассмотрим производные некоторых элементарных функций и их нахождение с помощью определения.
1) $y=C,\ C=const$
Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.
По определению производной:
2) $y=Cx$
Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.
По определению производной:
3) $y=x^2$
Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.
По определению производной:
4) $y=a^x$
Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.
Производные тригонометрических функций
5) $y=sinx$
Будем пользоваться следующей формулой:
По определению производной:
Используя первый замечательный предел ${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\ }$
$y'=\mathop{lim}_{\triangle x\to 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}cos\left(x+\frac{\triangle x}{2}\right)=\mathop{lim}_{\triangle x\to 0}cos\left(x+\frac{\triangle x}{2}\right)=cosx$
6) $y=cosx$
Будем пользоваться следующей формулой:
По определению производной:
Используя первый замечательный предел ${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\ }$
7) $y=tgx$
По определению функции тангенса, имеем:
Найдем производную по правилу нахождения производной частного:
8) $y=ctgx$
По определению функции котангенса, имеем:
Найдем производную по правилу нахождения производной частного:
