Односторонние производные

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Левой производной функции f(x) в точке х называется левый предел отношения приращения функции $\Delta$ y к приращению аргумента $\Delta$ х, когда $\Delta$ х $\to$ 0:

$f'_{-} (x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Определение 2

Правой производной функции f(x) в точке х называется правый предел отношения приращения функции $\Delta$ y к приращению аргумента $\Delta$ х, когда $\Delta$ х $\to$ 0:

$f'_{+} (x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Теорема

Для того, чтобы функция f(x) имела производную в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция была непрерывна, и существовали односторонние производные f`-(x) и f`+(x), равные между собой.

Если

$f'_{-} (x)\ne f'_{+} (x)$

то в точке x производной не существует, и график функции имеет излом (рис. 1).

Излом функции

Рисунок 1. Излом функции

Пример 1

Найти левую и правую производные в точке $x_0 = 0$ функции:

y =

$| \Delta x|$

Решение.

$f'_{-} (0)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{\left|\Delta x\right|-0}{\Delta x} =\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}$

Так как $\Delta$ х $\to$ 0-, то $\Delta$ х является маленькой отрицательной величиной, а тогда по определению модуля $|\Delta х|$ = - $\Delta$ х. Отсюда

$f'_{-} (0)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{-\left|\Delta x\right|}{\Delta x} =-1$

Аналогично найдем правую производную

$f'_{+} (0)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+} \frac{\left|\Delta x\right|-0}{\Delta x} =\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}$

$f'_{+} (0)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+} \frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0-} \frac{+\left|\Delta x\right|}{\Delta x} =1$

Графически это означает, что функция имеет излом в точке = 0

Излом функции