Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Приложения определенного интеграла

Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.

В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.

Площадь плоской фигуры

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат xOy сверху ограничена кривой y=y1(x), снизу -- кривой y=y2(x), а слева и справа вертикальными прямыми x=a и x=b соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ S=ba(y1(x)y2(x))dx.

Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат xOy справа ограничена кривой x=x1(y), слева -- кривой x=x2(y), а снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c и y=d соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ S=dc(x1(y)x2(y))dy.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), а также двумя лучами, проходящими под углами ϕ=α и ϕ=β соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: S=12βαρ2(ϕ)dϕ.

Длина дуги кривой

Если на отрезке [α,β] кривая задана уравнением ρ=ρ(ϕ) в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ L=βαρ2(ϕ)+ρ2(ϕ)dϕ.

«Приложения определенного интеграла» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Если на отрезке [a,b] кривая задана уравнением y=y(x), то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ L=ba1+y2(x)dx.

Если на отрезке [α,β] кривая задана параметрически, то есть x=x(t), y=y(t), то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ L=βαx2(t)+y2(t)dt.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям axb, и для которого известны площади сечений S(x) плоскостями, перпендикулярными оси Ox.

Формула для вычисления объема такого тела имеет вид V=baS(x)dx.

Объем тела вращения

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная непрерывная функция y=y(x), образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси Ox, то образуется тело, называемое телом вращения.

Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид V=baS(x)dx=πbay2(x)dx.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат xOy сверху ограничена кривой y=y1(x), снизу -- кривой y=y2(x), где y1(x) и y2(x) -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми x=a и x=b соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ox, выражается ОИ V=πba(y21(x)y22(x))dx.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат xOy справа ограничена кривой x=x1(y), слева -- кривой x=x2(y), где x1(y) и x2(y) -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c и y=d соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy, выражается ОИ V=πdc(x21(y)x22(y))dy.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=y(x) с непрерывной производной y(x). Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси Ox, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой Q=2πbay(x)1+y2(x)dx.

Предположим, что кривую x=ϕ(y), где ϕ(y) -- заданная на отрезке cyd неотрицательна функция, вращают вокруг оси Oy. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ Q=2πdcϕ(y)1+ϕ2(y)dy.

Физические приложения ОИ

  1. Для вычисления пройденного пути в момент времени t=T при переменной скорости движения v=v(t) материальной точки, которая начала движение в момент времени t=t0, используют ОИ S=Tt0v(t)dt.
  2. Для вычисления работы переменной сили F=F(x), приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси Ox от точки x=a до точки x=b (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ A=baF(x)dx.
  3. Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой y=y(x) на промежутке [a,b] выражаются формулами Mx=ρbay(x)1+y2(x)dx и My=ρbax1+y2(x)dx, где линейная плотность ρ этой кривой считается постоянной.
  4. Центр масс материальной кривой -- это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.
  5. Формулы для вычисления координат центра масс плоской кривой имеют вид xC=bax1+y2(x)dxba1+y2(x)dx и yC=bay(x)1+y2(x)dxba1+y2(x)dx.

  6. Статические моменты материальной плоской фигуры в виде КрТ относительно координатных осей выражаются формулами Mx=12ρbay2(x)dx и My=ρbaxy(x)dx.
  7. Координаты центра масс материальной плоской фигуры в виде КрТ, образованной кривой y=y(x) на промежутке [a,b], вычисляют по формулам xC=baxy(x)dxbay(x)dx и yC=12bay2(x)dxbay(x)dx.
Дата последнего обновления статьи: 25.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Приложения определенного интеграла"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant