Определение числовой последовательности
Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.
Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.
Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.
Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.
Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).
Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).
Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).
Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.
Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}
Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.
Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.
Предел числовой последовательности
Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.
Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|
Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.
Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$
С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.
Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.
Свойства предела числовой последовательности
-
Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.
-
Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.
-
Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства
и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то
Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности
Теорема Вейерштрасса
Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:
-
Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
-
Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.
Теорема - Критерий Больцано-Коши
Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|
Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности
Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.
Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$
Решение:
Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.
Таким образом, получаем что
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }=\infty \]Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$
Решение:
Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.
Таким образом, получаем что
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }=0\]Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$
Решение:
Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.
Таким образом, получаем что
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
