Предел числовой последовательности

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Число а является пределом последовательности, если для любого положительного $\varepsilon$ можно подобрать такой номер N члена последовательности, что для всех членов последовательности с номерами n $>$ N будет верно неравенство:

числовая последовательность

Если предел последовательности найти невозможно, то говорят что «последовательность расходится».

Окрестность точки а

Рисунок 1. Окрестность точки а

Теорема 1 (о единственности предела последовательности)

Если последовательность $х_n$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Действительно, если бы числовая последовательность имела два предела a и b, то окрестность точки а (а -- $\varepsilon$ $;$ а + $\varepsilon$ ) и точки b (b -- $\varepsilon$ $;$ b + $\varepsilon$ ) должны были бы содержать все члены последовательности равновозможно. Но интервалы не пересекаются, поэтому это невозможно.

Теорема 2 (критерий Вейерштрасса)

Если последовательность $х_n$ монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Доказательство

Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть числовая последовательность \{хn\} ограничена сверху числом b. Тогда для последовательности существует четко определенная верхняя грань M ≤ b. В этом случае для каждого члена последовательности найдется такое $n = n_0$ , что M -- $\varepsilon n_0$ .

\[M-\varepsilon А значит, предел последовательности существует.

«Предел числовой последовательности» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 1

Найти предел числовой последовательности

$1,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ...\frac{1}{n}$

Решение:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{n} =0$

Вывод: Чем больше номер члена последовательности, тем дальше от предельного значения он лежит.

Пример 2

Найти предел числовой последовательности

$\frac{1}{2} ,\frac{2}{3} ,\frac{3}{4} ...\frac{n}{n+1}$

Решение:

Поскольку

$\left|\frac{n}{n+1} -1\right|=\frac{1}{n+1}$

То для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое натуральное число Nб, при котором будет справедливо неравенство:

$\frac{1}{n+1} Поэтому мы вправе взять любое N удовлетворяющее неравенству. Например - 1. \[\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{n}{n+1} =1$

Вывод: Последовательность сходится, и чем больше номер члена последовательности, тем дальше от предельного числа он лежит.

Пример 3

Определить сходимость последовательности и найти ее предел

$2, 0, 3, 0, 3, 2, 0 \dots$

Очевидно, что последовательность не сходится, а значит, и не имеет предела.

Утверждения о пределе последовательности:

К нулю всегда сходятся последовательности вида:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{n} =0$

$\begin{array}{cc} {} & {\left|a\right|} \end{array}$

постоянной

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } a=a$

Теорема 3

Если $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } a_{n} =a$ , а $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } b_{n} =b$ , то:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (a_{n} \pm b_{n} )=a\pm b$
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (a_{n} \cdot b_{n} )=a\cdot b$
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (a_{n} /b_{n} )=a/b\begin{array}{cc} {} & {b\ne 0} \end{array}$

Пример 4

Вычислить

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{n^{2} }$

Решение:

$\frac{1}{n^{2} } =\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n} \to 0$ , то

$\frac{1}{n^{2} } \to 0\cdot 0=0$

А значит,

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{n^{2} } =0$

Вывод, любая последовательность вида $\frac{1}{n^{k} } \to 0$

Пример 5

Вычислить

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\frac{3n^{2} }{n^{2} } -\frac{2n}{n^{2} } +\frac{2}{n^{2} } }{\frac{n^{2} }{2n^{2} } -\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } } =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3-2\cdot \frac{1}{n} +2\cdot \frac{1}{n^{2} } }{\frac{1}{2} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } }$

Используя полученные ранее выводы $\frac{1}{n} \to 0$

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3-2\cdot \frac{1}{n} +2\cdot \frac{1}{n^{2} } }{\frac{1}{2} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } } =\frac{3-2\cdot 0+2\cdot 0}{\frac{1}{2} -0+0} =6$

Дата последнего обновления статьи: 17.12.2024