Если функция f(x) имеет предел b при х>∞, ее можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой функции.
Пусть
limx→∞f(x)=bТогда разность
f(x)−b=α(x)Докажем, что α(х) бесконечно малая функция при х > ∞.
|f(x)−b|Этозначит,что|$α$(х)|$$N,т.е.$α$(х)−бесконечномалаяфункцияи\[f(x)=b+α(x)Из доказательства теоремы 1:
f(x)=b+α(x),где α(х) бесконечно малая функция при х>∞.
Докажем, что
limx→∞f(x)=bПоскольку f(x)−b=α(x), и |α(х)| $$ N, имеем:
|f(x)−b|Изначит\[limx→∞f(x)=bДоказать равенство
limx→∞(3+1x−1x2)=3Доказательство: Поскольку в равенстве мы наблюдаем две бесконечно малые функции, их разность также бесконечно малая величина х>∞. А значит, по теореме 2 предел суммы числа А и бесконечно малой функции равен числу А.
limx→∞(3+1x−1x2)=3Если limx→∞f(x)=b и limx→∞g(x)=c, то функции f(x)+g(x) или f(x)-g(x) также имеют пределы при х>∞:
limx→∞[f(x)±g(x)]=limx→∞f(x)±limx→∞g(x)т.е. предел суммы или разности двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Данная теорема применяется для суммы любого конечного числа функций!
По теореме 1 функции можно представлять в виде:
f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x)Тогда,
f(x)+g(x)=b+α(x)+c+β(x)=(b+c)+(α(x)+β(x))Сумма α(х)+β(х) является бесконечно малой функцией. А значит, равенство состоит из суммы чисел и бесконечно малой величины, поэтому можно применить теорему 2.
limx→∞[f(x)+g(x)]=b+c=limx→∞f(x)+limx→∞g(x)Аналогично доказывается разность функций.
Если limx→∞f(x)=b и limx→∞g(x)=c, то функция f(x)*g(x) имеет предел при х>∞:
limx→∞[f(x)g(x)]=limx→∞f(x)⋅limx→∞g(x)По теореме 1 функции можно представлять в виде:
f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x)Тогда,
f(x)g(x)=[b+α(x)]⋅[c+β(x)]=bc+[cα(x)+bβ(x)+α(x)β(x)]Сумма сα(х)+bβ(х)+α(х)β(х) является бесконечно малой функцией. А значит, равенство состоит из суммы чисел и бесконечно малой величины, поэтому можно применить теорему 2.
limx→∞[f(x)g(x)]=limx→∞f(x)⋅limx→∞g(x)Следствием данной теоремы является свойство о возможности вынести постоянный множитель за знак предела:
limx→aC∗f(x)=C∗limx→af(x)Данная теорема применима к любому конечному числу равных сомножителей.
Если limx→∞f(x)=b , limx→∞g(x)=c, причем с ≠0, то функция f(x)/g(x) имеет предел при х>∞:
limx→∞[f(x)g(x)]=limx→∞f(x)limx→∞g(x)По теореме 1 функции можно представлять в виде:
f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x)
Рассмотрим разность,
f(x)g(x)−bc=b+α(x)c+β(x)−bc=cα(x)−bβ(x)c2+cβ(x)Дробь
cα(x)−bβ(x)c2+cβ(x)=γ(x)Является бесконечно малой функцией, поскольку числитель (разность бесконечно малых) есть бесконечно малая величина, а знаменатель удовлетворяет требованию c≠0. Значит:
f(x)g(x)=bc+cα(x)−bβ(x)c2+cβ(x)=bc+γ(x)По теореме 2, разность функций имеют предел, равный отношению b/c.
limx→∞[f(x)g(x)]=bc=limx→∞f(x)limx→∞g(x)Найти предел функции:
limx→2(x2+3x−4)Решение:
limx→2(x2+3x−4)=limx→2x2+limx→23x−limx→24Приведенные выше теоремы справедливы также и при:
x→−∞,x→a−0,x→a+0,x→aВозникают ситуации, когда для применения теорем необходимо сначала тождественно преобразовать функцию. Так, возникает, например, при нахождении предела дроби, знаменатель которой стремится к нулю.
Найти предел
limx→2x2−x−2x2−2xРешение:
Применить теорему 5 нельзя, поскольку числитель и знаменатель функции равны 0. Возникает неопределенность.
limx→2x2−x−2x2−2x=4−2−24−4=⟨00⟩Поэтому необходимо выполнить преобразования:
limx→2x2−x−2x2−2x=(x−2)(x+1)x(x−2)=(x+1)xДаны три функции ϕ(x), f(x), g(x), удовлетворяющие неравенствам для больших значений x:
ϕ(x)≤f(x)≤g(x)Если функции ϕ(x), g(x) имеют один и тот же предел при х>∞, то и функция, заключенная между ними, имеет равный с ними предел.
Рисунок 1. Сравнение функций
По рисунку 1 видно, что если функции ϕ(x), g(x) имеют при х>∞, предел b, то при любом ε > 0, найдется такое число N, что функции окажутся внутри области, ограниченной прямыми b-ε и b+ε. А функция, лежащая между ними, также является ограниченной данной областью.
