Предел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Предел и его обозначение

Предел функции как один из важнейших разделов математического анализа определяет предельное значение функции, т.е. такое значение, после достижения которого функция уже не существует.

Разберем обозначение «предела»:

Знак предела lim;
$x\to a$ - это стремление х к определенной точке или бесконечности

$x\to \infty$

$f(x)=b$ - функция

Среди данных обозначений х является числовой переменной, которая изменяется на области Х (координатной плоскости оХ и оY). Рассмотрим график простейшей функции на рис.1. Оси графика образуют область ее изменения и говорят, что функция $y=x^{2}$ определена на множестве Х. Кроме числовой независимой переменной х, каждая функция имеет зависимую от х переменную y (иначе говоря, частное решение в конкретной точке).

Совокупность всех значений зависимой переменной составляет множество значений функции. На графике множество значений можно определить по оси оY, а область определений по оХ. Для рассматриваемого графика, область значений определяется как $0; $\infty $$ , а область определений $-$\infty $; $\infty $$ .

«Стремление» х означает последовательное приближение к числу а (предельной точки области Х или бесконечности) путем перебора максимально близких к нему значений.

Рисунок 1. Функция

Рисунок 1. Функция $x^{2}$

Рассмотрим следующее выражение:

Его «чтение» должно производиться следующим образом: «Предел функции х + 4 при стремлении х к бесконечности»

Определение

Пределом является число b, к которому стремится функция, при стремлении x к а.

Проще говоря, к какому числу приблизится функция, при стремлении ее неизвестной к а.

Непрерывная функция

Функцию, которая имеет предел в точке a, называют непрерывной в этой точке.

$\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$

«Предел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Рассмотрим условия непрерывности функции:

Функция должна быть определена, т.е. существует f(a);
Предел функции в точке а -- существует;
Предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке

Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Теоремы непрерывности функции

Теорема 1

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и такие функции, как:

f(x) + g(x),
f(x) -- g(x),
f(x) • g(x).

Теорема 2

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а будет непрерывной также и функция f(x)/g(x).

Непрерывными являются функции вида:

Многочлены

$y=a_{0} +a_{1} x+...+a_{n} x^{n}$

Дробно-рациональные функции (кроме нулей знаменателя)

$y=\frac{a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} ...+a_{n} x^{n} }{b_{0} +b_{1} x+b_{2} x^{2} ...+b_{m} x^{m} }$

Тригонометрические функции

$у = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x)$

$у = arcsin(x), y = arccos(x), y = arctg(x), y = arcctg(x)$

Показательные и логарифмические функции, а также модуль

$y=a^{x} y=\log _{a} x y=\sqrt[{n}]{x} y=\left|x\right|$

Примеры непрерывных функций:

$y=x^{2} +4x-5$
$y=\frac{x^{2} -2}{x-3}$ (кроме точки 3)
$y=\sqrt[{4}]{x}$

Пример 1

Является ли сумма непрерывной, если обе функции непрерывны в точке в точке х = а?

$\mathop{\lim }\limits_{x\to a} 5^{E} +\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \log _{2} x$

Ответ: по теореме 1 функция непрерывна

Проверка функций на неопределенность проводится методом подстановки а вместо х, НО полученное значение предела у НЕПРЕРЫВНОЙ функции всегда равно числу а.

Пример 2

Является ли функция непрерывной?

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1} 2E^{5} +4E-5$

Решение:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1} 2E^{5} +4E-5=2*1^{5} +4*1-5=2+4-5=1$

$1 = 1$

Вывод: функция непрерывна в точке 1