Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Числовые характеристики показательного распределения

Напомним, что плотность показательного распределения имеет вид:



Рисунок 1.

Математическое ожидание

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала неопределенный интеграл xeγxdx

Значит:

Дисперсия

Дисперсия находится по следующей формуле:

Как было рассмотрено выше:

Значит:

Рассмотрим неопределенный интеграл x2eγxdx

Тогда:

Получаем:

Среднее квадратическое ожидание

Среднее квадратическое ожидание найдем по формуле

Получим:

!!! Отметим, что в случае показательного распределения значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения равны.

Примеры решения задач на нахождение числовых характеристик показательного распределения

Пример 1

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет следующий вид:



Рисунок 2.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Так как плотность имеет такой вид, то в нашем случае непрерывная случайная величина подчиняется показательному закону с коэффициентом γ=0,5. Значит значение математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения σ(X) найдем по формулам, выведенным выше:

M(X)=10,5=105=2
D(X)=10,52=10,25=10025=4
σ(X)=M(X)=2
Пример 2

96% моторов автомобилей, произведенных за год, ломаются в течении первых 8000часов работы. Определить среднее время безотказной работы таких моторов, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (Распределение считать экспоненциальным).

Решение:

По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:



Рисунок 3.

Для начала необходимо найти константу γ. Из условия задачи, получаем:

P(X8000)=0,96.

Найдем P(X8000):

\[P\left(X\ge 8000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно



Рисунок 4.

Значит

F(8000)=1e8000γ

Получаем уравнение:

11+e8000γ=0,96,
e8000γ=0,96,
8000γ=ln0,96,
γ=ln0,968000=0,000005

Получаем, что плотность распределения имеет вид:



Рисунок 5.

Найдем теперь все характеристике по выше выведенным формулам.

(Отметим, что математическое ожидание -- это и есть время безотказной работы).

M(X)=10,000005=10000005=200000
D(X)=10,0000052=10,000000000025=100000000000025=41010
σ(X)=M(X)=200000
Дата последнего обновления статьи: 24.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Числовые характеристики показательного распределения"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant