Числовые характеристики показательного распределения

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет следующий вид:

Рисунок 2.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Так как плотность имеет такой вид, то в нашем случае непрерывная случайная величина подчиняется показательному закону с коэффициентом $\gamma =0,5.$ Значит значение математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и среднего квадратического отклонения $\sigma (X)$ найдем по формулам, выведенным выше:

$$M\left(X\right)=\frac{1}{0,5}=\frac{10}{5}=2$$ $$D\left(X\right)=\frac{1}{{0,5}^2}=\frac{1}{0,25}=\frac{100}{25}=4$$ $$\sigma \left(X\right)=M\left(X\right)=2$$

$96\%$ моторов автомобилей, произведенных за год, ломаются в течении первых $8000 часов$ работы. Определить среднее время безотказной работы таких моторов, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (Распределение считать экспоненциальным).

Решение:

По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:

Рисунок 3.

Для начала необходимо найти константу $\gamma$. Из условия задачи, получаем:

$$P\left(X\ge 8000\right)=0,96.$$

Найдем $P\left(X\ge 8000\right)$:

\[P\left(X\ge 8000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно

Рисунок 4.

Значит

$$F\left(8000\right)=1-e^{-8000\gamma }$$

Получаем уравнение:

$$1-1+e^{-8000\gamma }=0,96,$$ $$e^{-8000\gamma }=0,96,$$ $$-8000\gamma =ln0,96,$$ $$\gamma =-\frac{ln0,96}{8000}=0,000005$$

Получаем, что плотность распределения имеет вид:

Рисунок 5.

Найдем теперь все характеристике по выше выведенным формулам.

(Отметим, что математическое ожидание -- это и есть время безотказной работы).

$$M\left(X\right)=\frac{1}{0,000005}=\frac{1000000}{5}=200000$$ $$D\left(X\right)=\frac{1}{{0,000005}^2}=\frac{1}{0,000000000025}=\frac{1000000000000}{25}=4\cdot {10}^{10}$$ $$\sigma \left(X\right)=M\left(X\right)=200000$$