Напомним, что плотность показательного распределения имеет вид:
Рисунок 1.
Математическое ожидание
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
Рассмотрим сначала неопределенный интеграл ∫xe−γxdx
Значит:
Дисперсия
Дисперсия находится по следующей формуле:
Как было рассмотрено выше:
Значит:
Рассмотрим неопределенный интеграл ∫x2e−γxdx
Тогда:
Получаем:
Среднее квадратическое ожидание
Среднее квадратическое ожидание найдем по формуле
Получим:
!!! Отметим, что в случае показательного распределения значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения равны.
Примеры решения задач на нахождение числовых характеристик показательного распределения
Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет следующий вид:
Рисунок 2.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение.
Так как плотность имеет такой вид, то в нашем случае непрерывная случайная величина подчиняется показательному закону с коэффициентом γ=0,5. Значит значение математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения σ(X) найдем по формулам, выведенным выше:
M(X)=10,5=105=296% моторов автомобилей, произведенных за год, ломаются в течении первых 8000часов работы. Определить среднее время безотказной работы таких моторов, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (Распределение считать экспоненциальным).
Решение:
По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:
Рисунок 3.
Для начала необходимо найти константу γ. Из условия задачи, получаем:
P(X≥8000)=0,96.Найдем P(X≥8000):
\[P\left(X\ge 8000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно
Рисунок 4.
Значит
F(8000)=1−e−8000γПолучаем уравнение:
1−1+e−8000γ=0,96,Получаем, что плотность распределения имеет вид:
Рисунок 5.
Найдем теперь все характеристике по выше выведенным формулам.
(Отметим, что математическое ожидание -- это и есть время безотказной работы).
M(X)=10,000005=10000005=200000