Определение медианы
Понятие медианы -- это одна из статистических величин, относящихся к конечному упорядоченному ряду чисел. Пусть нам дан конечный упорядоченный ряд чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$. Этот ряд может содержать как четное, так и нечетное количество чисел. Поэтому понятие медианы имеет два определения (в зависимости от количества чисел в конечном упорядоченном числовом ряду).
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда.
Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда медиана данного ряда равна 7.
Перед тем, как ввести второе определение, вспомним, что такое средне арифметическое двух чисел.
Среднее арифметическое $n$ чисел -- это сумма этих чисел, поделенная на $n$.
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда.
Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Тогда медиана данного ряда равна
\[\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\]Рассмотрим теперь случай, когда ряд чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ не упорядочен. В этом случае, перед тем как найти медиану, данный ряд сначала необходимо упорядочить, то есть расставить все числа в порядке возрастания. Только после этого мы можем применить определение понятия медианы.
Пусть дан ряд 3, 7, 5, 4, 11, 6, 10, 9. Вначале упорядочим данный ряд, получим:
\[3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 11\]Вычисляем по определению 3 медиану:
\[\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}=6,5\]Свойства медианы
Для понятия медианы можно выделить два следующих свойства:
- Если распределение задано непрерывно, то значение медианы совпадает с одним из решений уравнения \[F\left(x\right)=0,5\]
- Если ряд распределения имеет четное число членов и два средних члена $a_k$ и $a_{k+1}$ различны, то значение медианы принадлежит интервалу ${(a}_k,a_{k+1})$.
Напомним, что $F\left(x\right)$ -- функция распределения случайной величины.
Примеры решения задач
Найти среднее арифметическое следующих рядов чисел.
- 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
- 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 84, 46.
Решение:
- Так как данный ряд имеет 10 чисел, то среднее арифметическое равно \[\frac{3+6+13+7+3+45+24+17+8+3}{10}=\frac{129}{10}=12,9\]
- Так как данный ряд имеет 9 чисел, то среднее арифметическое равно \[\frac{10+25+43+67+13+65+34+84+46}{9}=\frac{387}{9}=43\]
Ответ: а) 12,9. б) 43.
Найти среднее арифметическое и медианы следующих числовых рядов:
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
- 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
Решение:
- Так как ряд имеет 8 элементов, то среднее арифметическое равно: \[\frac{2+4+8+16+32+64+128+256}{8}=\frac{510}{8}=63,75\]
- Так как ряд имеет 7 элементов, то среднее арифметическое равно: \[\frac{13+24+35+46+57+68+79}{7}=\frac{322}{7}=46\]
Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:
\[\frac{16+32}{2}=\frac{48}{2}=24\]Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 46.
Найти медиану следующих рядов чисел.
- 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
- 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 89, 46.
Решение:
- Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим: \[3,\ 3,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 13,\ 17,\ 24,\ 45\]
- Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим: \[10,\ 13,\ 25,\ 34,\ 43,\ 46,\ 65,\ 67,\ 89\]
Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:
\[\frac{7+8}{2}=\frac{13}{2}=6,5\]Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 43.
Ответ: а) 6,5. б) 43.
