Определение медианы
Понятие медианы -- это одна из статистических величин, относящихся к конечному упорядоченному ряду чисел. Пусть нам дан конечный упорядоченный ряд чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$. Этот ряд может содержать как четное, так и нечетное количество чисел. Поэтому понятие медианы имеет два определения (в зависимости от количества чисел в конечном упорядоченном числовом ряду).
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда.
Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда медиана данного ряда равна 7.
Статья: Медиана как статистическая характеристика
Перед тем, как ввести второе определение, вспомним, что такое средне арифметическое двух чисел.
Среднее арифметическое $n$ чисел -- это сумма этих чисел, поделенная на $n$.
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда.
Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Тогда медиана данного ряда равна
\[\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\]Рассмотрим теперь случай, когда ряд чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ не упорядочен. В этом случае, перед тем как найти медиану, данный ряд сначала необходимо упорядочить, то есть расставить все числа в порядке возрастания. Только после этого мы можем применить определение понятия медианы.
Пусть дан ряд 3, 7, 5, 4, 11, 6, 10, 9. Вначале упорядочим данный ряд, получим:
\[3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 11\]Вычисляем по определению 3 медиану:
\[\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}=6,5\]Свойства медианы
Для понятия медианы можно выделить два следующих свойства:
- Если распределение задано непрерывно, то значение медианы совпадает с одним из решений уравнения \[F\left(x\right)=0,5\]
- Если ряд распределения имеет четное число членов и два средних члена $a_k$ и $a_{k+1}$ различны, то значение медианы принадлежит интервалу ${(a}_k,a_{k+1})$.
Напомним, что $F\left(x\right)$ -- функция распределения случайной величины.
Примеры решения задач
Найти среднее арифметическое следующих рядов чисел.
- 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
- 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 84, 46.
Решение:
- Так как данный ряд имеет 10 чисел, то среднее арифметическое равно \[\frac{3+6+13+7+3+45+24+17+8+3}{10}=\frac{129}{10}=12,9\]
- Так как данный ряд имеет 9 чисел, то среднее арифметическое равно \[\frac{10+25+43+67+13+65+34+84+46}{9}=\frac{387}{9}=43\]
Ответ: а) 12,9. б) 43.
Найти среднее арифметическое и медианы следующих числовых рядов:
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
- 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
Решение:
- Так как ряд имеет 8 элементов, то среднее арифметическое равно: \[\frac{2+4+8+16+32+64+128+256}{8}=\frac{510}{8}=63,75\]
- Так как ряд имеет 7 элементов, то среднее арифметическое равно: \[\frac{13+24+35+46+57+68+79}{7}=\frac{322}{7}=46\]
Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:
\[\frac{16+32}{2}=\frac{48}{2}=24\]Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 46.
Найти медиану следующих рядов чисел.
- 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
- 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 89, 46.
Решение:
- Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим: \[3,\ 3,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 13,\ 17,\ 24,\ 45\]
- Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим: \[10,\ 13,\ 25,\ 34,\ 43,\ 46,\ 65,\ 67,\ 89\]
Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:
\[\frac{7+8}{2}=\frac{13}{2}=6,5\]Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 43.
Ответ: а) 6,5. б) 43.
