Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Показательные уравнения и неравенства

Все предметы / Математика / Показательная функция / Показательные уравнения и неравенства
Содержание статьи

Показательные уравнения

Определение 1

Уравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся в только показателях каких-то степеней называется показательным.

Решение показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить уравнение $3^{x-2} =3^{x^{2} -2} $.

Решение.

Для решения этого уравнения нам будет нужна теорема из теории равносильности. Напомним ее:

Теорема 1. Уравнение $a^{f(x)} =a^{g(x)} $, где $a >0,a\ne 1$, Б-равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.

Воспользовавшись этой теоремой, получим, что наше уравнение равносильно уравнению

\[x-2=x^2-2\] \[x^2-x=0\] \[x\left(x-1\right)=0\] \[x=0,\ x=1.\]

Ответ: $0$ и $1$.

Пример 2

Решить уравнение $2^{2x}+4^{x+1}=10$

Решение:

Для решения данного примера нам будут необходимы свойства степеней. Напомним их:

  1. $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

  2. $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

  3. ${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$

  4. $({a^n)}^m=a^{nm}$

  5. $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

  6. $a^n >0,\ при\ a >0$

  7. $a^m1,\ m

  8. $a^m>a^n,\ при\ 0

  9. $a^n0$

  10. $a^n >b^n,\ при\ 0\le a\le b,\ n

Применяя свойство 1, получим:

\[2^{2x}+{4\cdot 4}^x=10\]

Применяя свойство 4, получим:

\[2^{2x}+4\cdot {\left(2^2\right)}^x=10\] \[2^{2x}+4\cdot 2^{2x}=10\] \[5\cdot 2^{2x}=10\] \[2^{2x}=2\]

Применяя теорему 1, получим:

\[2x=1\] \[x=\frac{1}{2}\]

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Пример 3

Решить уравнение ${16}^x-3\cdot 4^x+2=0$

Решение.

Данное уравнение равносильно уравнению $4^{2x}-3\cdot 4^x+2=0$

Произведем замену. Пусть $4^x=t\ (t >0)$

Получим уравнение:

\[t^2-3t+2=0\] \[t=1,\ t=2\]

Вернемся к замене:

\[4^x=1\] \[x=0\ и\] \[4^x=2\] \[x=\frac{1}{2}\]

Ответ: $0$ и $\frac{1}{2}$.

Готовые работы на аналогичную тему

Показательные неравенства

Определение 2

Неравенство, в котором неизвестные и выражения с ними находятся в только показателях каких-то степеней называется показательным.

Решение показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 4

Решить неравенство $3^{x^{2} -x} >3^{x} $

Решение.

Для решения этого неравенства нам потребуется следующая теорема равносильности:

Теорема 2. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ Б-равносильно совокупности двух систем

\[a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0Так как в нашем примере $a >1$, то наше неравенство, по теореме 2, равносильно неравенству \[x^2-x >x\] \[x(x-1) >0\]

\textbackslash $x\left(x-1\right)=0$

\[x=0\ и\ x=1\]

Методом интервалов, получим

Ответ: $\left(-\infty ,0\right)(1,+\infty )$

Пример 5

Решить неравенство $\left(\frac{1}{2} \right)^{2x-1}

Так как в нашем примере $0 \[2x-1 >x^2\] \[x^2-2x+1Ответ: решений нет.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис