Понятие многочлена от двух переменных
Многочлен от двух переменных является частным случаем многочлена от нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.
Многочлен -- это сумма одночленов.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.
Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.
Пример: 6y6+13xy5.
Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.
Сумма многочленов от двух переменных
Рассмотрим сумму двучленов на примере
Сложим двучлены xy5+3x5 и 3x5−xy5
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
(xy5+3x5)+(3x5−xy5)Раскроем скобки:
xy5+3x5+3x5−xy5Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
6x5Ответ: 6x5.
Разность многочленов от двух переменных
Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример
Вычтем из двучлена xy5+3x5 двучлен 3x5−xy5
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
(xy5+3x5)−(3x5−xy5)Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
xy5+3x5−3x5+xy5Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
2xy5Ответ: 2xy5.
Произведения одночлена и многочлена от двух переменных
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Умножим одночлен x2y на многочлен (x2y2−x2−y2)
Решение.
Составим произведение:
x2y⋅(x2y2−x2−y2)Раскроем скобки:
x2y ⋅x2y2+x2y ⋅x2+x2y ⋅y2Перемножив, получим:
x4y3+x4y +x2y3Ответ: x4y3+x4y +x2y3.
Произведение двух многочленов с двумя переменными
Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Перемножить многочлены 2x+y и x2+2y+3.
Решение.
Запишем произведение:
(2x+y)(x2+2y+3)Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
(2x+y)(x2+2y+3)=2x3+4xy+6x+x2y+2y2+3yОтвет: 5y2−3x−2−20x2y2+12x3+8x2.
Возведение многочлена от двух переменных в степень
Рассмотрим возведение в степень на примере
Возведем в квадрат многочлен x+y−xy
Решение.
Запишем степень
(x+y−xy)2Любую степень всегда можно записать в виде произведения:
(x+y−xy)2=(x+y−xy)(x+y−xy)Раскроем скобки:
(x+y−xy)(x+y−xy)=x2+xy−x2y+xy+y2−xy2−x2y−xy2+x2y2Приведем многочлен к стандартному виду:
x2+xy−x2y+xy+y2−xy2−x2y−xy2+x2y2=Ответ: x2+y2+2xy−2x2y−2xy2+x2y2
