Понятие многочлена от двух переменных
Многочлен от двух переменных является частным случаем многочлена от нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.
Многочлен -- это сумма одночленов.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.
Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.
Пример: ${6y}^6+{13xy}^5$.
Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.
Сумма многочленов от двух переменных
Рассмотрим сумму двучленов на примере
Сложим двучлены ${xy}^5+{3x}^5$ и ${3x}^5-{xy}^5$
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)+({3x}^5-{xy}^5)\]Раскроем скобки:
\[{xy}^5+{3x}^5+{3x}^5-{xy}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{6x}^5\]Ответ: ${6x}^5$.
Разность многочленов от двух переменных
Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример
Вычтем из двучлена ${xy}^5+{3x}^5$ двучлен ${3x}^5-{xy}^5$
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)-({3x}^5-{xy}^5)\]Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{xy}^5+{3x}^5-{3x}^5+{xy}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{2xy}^5\]Ответ: ${2xy}^5$.
Произведения одночлена и многочлена от двух переменных
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Умножим одночлен $x^2y$ на многочлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$
Решение.
Составим произведение:
\[x^2y\cdot (x^2y^2-x^2-y^2)\]Раскроем скобки:
\[x^2y\ \ \cdot x^2y^2+x^2y\ \cdot x^2+x^2y\ \ \cdot y^2\]Перемножив, получим:
\[x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3\]Ответ: $x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3$.
Произведение двух многочленов с двумя переменными
Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Перемножить многочлены $2x+y$ и $x^2+2y+3$.
Решение.
Запишем произведение:
\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.
Возведение многочлена от двух переменных в степень
Рассмотрим возведение в степень на примере
Возведем в квадрат многочлен $x+y-xy$
Решение.
Запишем степень
\[{\left(x+y-xy\right)}^2\]Любую степень всегда можно записать в виде произведения:
\[{\left(x+y-xy\right)}^2=\left(x+y-xy\right)(x+y-xy)\]Раскроем скобки:
\[\left(x+y-xy\right)\left(x+y-xy\right)=x^2+xy-x^2y+xy+y^2-xy^2-x^2y-xy^2+x^2y^2\]Приведем многочлен к стандартному виду:
\[x^2+xy-x^2y+xy+y^2-xy^2-x^2y-xy^2+x^2y^2=\] \[=x^2+y^2+2xy-2x^2y-2xy^2+x^2y^2\]Ответ: $x^2+y^2+2xy-2x^2y-2xy^2+x^2y^2$
