Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Логарифмы и их свойства

Понятие логарифма

Определение 1

Логарифмом числа bR по основанию a (a>0, a1) называется число c, в которое нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Обозначение: logab .

Из определения видим, что если число b0, то оно не имеет действительного логарифма. Мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 1

Теорема о существовании действительного логарифма: Каждое действительное число b>0 имеет и только единственный действительный логарифм по основанию a (a>0, a1).

Определение 2

Если в определении 1 положить a=10, то логарифм числа b называется десятичным логарифмом числа b.

Обозначение: log10b =lgb.

Определение 3

Если в определении 1 положить a=e, то логарифм числа b называется натуральным логарифмом числа b.

Обозначение: logeb =lnb.

Свойства логарифмов

Сразу из определения логарифма следует два основных свойства логарифмов.

  1. alogab =b;

  2. logaac =c.

    Рассмотрим другие свойства логарифмов.

  3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

    logaxy =logax +logay 

    Доказательство.

    Используя первое свойство логарифмов и свойство суммы степеней, имеем:

    alogaxy =xy, alogax+logay =alogax alogay =xy. Следовательно

    alogaxy =alogax+logay 
    logaxy =logax +logay 
  4. logabc =clogab 

    Доказательство.

    logabc =logabbb , где b переумножается c раз (по определению степени). Из свойства 3, имеем:

    logabc =logab +logab ++logab  (c раз)=clogab 
  5. loga1b =logab 

    Доказательство.

    loga1b =logab1 

    По свойству 4, получим:

    loga1b =logab1 =logab 
  6. Логарифм частного равен разности логарифмов:

    logaxy =logax logay 

    Доказательство.

    Используя свойства 3 и 5, получим:

    logaxy =logax +loga1y =logax logay 
  7. Формула перехода к новому основанию:

    logbc =logac logab 

    Доказательство.

    Используя первое и второе логарифмическое свойство, получим:

    logac =logablogbc  =logbc logab
    logbc =logac logab 
  8. logab =1logba

    Доказательство.

    Используя свойство 7, получим:

    logab =logbblogba=1logba
  9. loganb =1nlogab 

    Доказательство.

    Используя свойство 7 и 2, получим:

    loganb =logablogaan=1nlogab 
«Логарифмы и их свойства» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Модули перехода от одного логарифма к другому

Определение 4

Рассмотрим равенство logbc =logac logab . В этом равенстве M=1logab  называется модулем перехода от логарифма по основанию a к логарифму по основанию b.

logbc =Mlogac 

Для этого понятия можно выделить два частных случая:

  1. В равенстве lgx=Mlnx, число M=1ln10=lge0,(43) - называется модулем перехода от натурального логарифма к десятичному логарифму.

  2. В равенстве lnx=Mlgx, число M=1lge=ln102,3026 - называется модулем перехода от десятичного логарифма к натуральному логарифму.

Пример задач на использование свойств логарифмов

Пример 1

Вычислить:

  1. 50,6log0,612;

  2. log315log35+3log35;

  3. 9log92+log5125;

Решение.

  1. 50,6log0,612;

    Используя основное свойство логарифмов (1), получим:

    50,6log0,612 =512=60
  2. log315log35+3log35;

    Используя свойства 1 и 6, получим:

    log315 log35 +3log35 =log3155 +5=log33 +5=1+5=6
  3. 9log92+log5125;

    9log92 +log5125 =2+(12)=1,5
Дата последнего обновления статьи: 06.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Логарифмы и их свойства"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant