Понятие логарифма
Логарифмом числа b∈R по основанию a (a>0, a≠1) называется число c, в которое нужно возвести число a, чтобы получить число b.
Обозначение: logab .
Из определения видим, что если число b≤0, то оно не имеет действительного логарифма. Мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема о существовании действительного логарифма: Каждое действительное число b>0 имеет и только единственный действительный логарифм по основанию a (a>0, a≠1).
Если в определении 1 положить a=10, то логарифм числа b называется десятичным логарифмом числа b.
Обозначение: log10b =lgb.
Если в определении 1 положить a=e, то логарифм числа b называется натуральным логарифмом числа b.
Обозначение: logeb =lnb.
Свойства логарифмов
Сразу из определения логарифма следует два основных свойства логарифмов.
-
alogab =b;
-
logaac =c.
Рассмотрим другие свойства логарифмов.
-
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
logaxy =logax +logayДоказательство.
Используя первое свойство логарифмов и свойство суммы степеней, имеем:
alogaxy =xy, alogax+logay =alogax alogay =xy. Следовательно
alogaxy =alogax+logaylogaxy =logax +logay -
logabc =clogab
Доказательство.
logabc =logab⋅b⋅⋯⋅b , где b переумножается c раз (по определению степени). Из свойства 3, имеем:
logabc =logab +logab +⋯+logab (c раз)=clogab -
loga1b =−logab
Доказательство.
loga1b =logab−1По свойству 4, получим:
loga1b =logab−1 =−logab -
Логарифм частного равен разности логарифмов:
logaxy =logax −logayДоказательство.
Используя свойства 3 и 5, получим:
logaxy =logax +loga1y =logax −logay -
Формула перехода к новому основанию:
logbc =logac logabДоказательство.
Используя первое и второе логарифмическое свойство, получим:
logac =logablogbc =logbc ⋅logablogbc =logac logab -
logab =1logba
Доказательство.
Используя свойство 7, получим:
logab =logbblogba=1logba -
loganb =1nlogab
Доказательство.
Используя свойство 7 и 2, получим:
loganb =logablogaan=1nlogab
Модули перехода от одного логарифма к другому
Рассмотрим равенство logbc =logac logab . В этом равенстве M=1logab называется модулем перехода от логарифма по основанию a к логарифму по основанию b.
logbc =MlogacДля этого понятия можно выделить два частных случая:
-
В равенстве lgx=Mlnx, число M=1ln10=lge≈0,(43) - называется модулем перехода от натурального логарифма к десятичному логарифму.
-
В равенстве lnx=Mlgx, число M=1lge=ln10≈2,3026… - называется модулем перехода от десятичного логарифма к натуральному логарифму.
Пример задач на использование свойств логарифмов
Вычислить:
-
5⋅0,6log0,612;
-
log315−log35+3log35;
-
9log92+log5125;
Решение.
-
5⋅0,6log0,612;
Используя основное свойство логарифмов (1), получим:
5⋅0,6log0,612 =5⋅12=60 -
log315−log35+3log35;
Используя свойства 1 и 6, получим:
log315 −log35 +3log35 =log3155 +5=log33 +5=1+5=6 -
9log92+log5125;
9log92 +log5125 =2+(−12)=1,5