Понятие логарифма
Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.
Обозначение: ${{log}_a b\ }$.
Из определения видим, что если число $b\le 0$, то оно не имеет действительного логарифма. Мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема о существовании действительного логарифма: Каждое действительное число $b >0$ имеет и только единственный действительный логарифм по основанию $a$ ($a >0,\ a\ne 1$).
Если в определении 1 положить $a=10$, то логарифм числа $b$ называется десятичным логарифмом числа $b$.
Обозначение: ${{log}_{10} b\ }=lgb$.
Если в определении 1 положить $a=e$, то логарифм числа $b$ называется натуральным логарифмом числа $b$.
Обозначение: ${{log}_e b\ }=lnb$.
Свойства логарифмов
Сразу из определения логарифма следует два основных свойства логарифмов.
-
$a^{{{log}_a b\ }}=b$;
-
${{log}_a a^c\ }=c$.
Рассмотрим другие свойства логарифмов.
-
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
\[{{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }\]Доказательство.
Используя первое свойство логарифмов и свойство суммы степеней, имеем:
$a^{{{log}_a xy\ }}=xy$, $a^{{{log}_a x+{log}_ay\ }}=a^{{{log}_a x\ }}a^{{{log}_a y\ }}=xy$. Следовательно
\[a^{{{log}_a xy\ }}=a^{{{log}_a x+{log}_ay\ }}\] \[{{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }\] -
${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$
Доказательство.
${{log}_a b^c\ }={{log}_a b\cdot b\cdot \dots \cdot b\ }$, где $b$ переумножается $c$ раз (по определению степени). Из свойства 3, имеем:
\[{{log}_a b^c\ }={{log}_a b\ }+{{log}_a b\ }+\dots +{{log}_a b\ }\ \left(c\ раз\right)=c{{log}_a b\ }\] -
${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$
Доказательство.
\[{{log}_a \frac{1}{b}\ }={{log}_a b^{-1}\ }\]По свойству 4, получим:
\[{{log}_a \frac{1}{b}\ }={{log}_a b^{-1}\ }=-{{log}_a b\ }\] -
Логарифм частного равен разности логарифмов:
\[{{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }\]Доказательство.
Используя свойства 3 и 5, получим:
\[{{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a \frac{1}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }\] -
Формула перехода к новому основанию:
\[{{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}\]Доказательство.
Используя первое и второе логарифмическое свойство, получим:
\[{{log}_a c\ }={{log}_a b^{{{log}_b c\ }}\ }={{log}_b c\ }\cdot {log}_ab\] \[{{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}\] -
${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$
Доказательство.
Используя свойство 7, получим:
\[{{log}_a b\ }=\frac{{log}_bb}{{log}_ba}=\frac{1}{{log}_ba}\] -
${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$
Доказательство.
Используя свойство 7 и 2, получим:
\[{{log}_{a^n} b\ }=\frac{{log}_ab}{{log}_aa^n}=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }\]
Модули перехода от одного логарифма к другому
Рассмотрим равенство ${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$. В этом равенстве $M=\frac{1}{{{log}_a b\ }}$ называется модулем перехода от логарифма по основанию $a$ к логарифму по основанию $b$.
\[{{log}_b c\ }=M{{log}_a c\ }\]Для этого понятия можно выделить два частных случая:
-
В равенстве $lgx=Mlnx$, число $M=\frac{1}{ln10}=lge\approx 0,(43)$ - называется модулем перехода от натурального логарифма к десятичному логарифму.
-
В равенстве $lnx=Mlgx$, число $M=\frac{1}{lge}=ln10\approx 2,3026\dots $ - называется модулем перехода от десятичного логарифма к натуральному логарифму.
Пример задач на использование свойств логарифмов
Вычислить:
-
$5\cdot 0,6^{\log _{0,6} 12} ;$
-
$\log _{3} 15-\log _{3} 5+3^{\log _{3} 5} ;$
-
$9^{\log _{9} 2} +\log _{5} \frac{1}{25} ;$
Решение.
-
$5\cdot 0,6^{\log _{0,6} 12} ;$
Используя основное свойство логарифмов (1), получим:
\[5\cdot {0,6}^{{{log}_{0,6} 12\ }}=5\cdot 12=60\] -
$\log _{3} 15-\log _{3} 5+3^{\log _{3} 5} ;$
Используя свойства 1 и 6, получим:
\[{{log}_3 15\ }-{{log}_3 5\ }+3^{{{log}_3 5\ }}={{log}_3 \frac{15}{5}\ }+5={{log}_3 3\ }+5=1+5=6\] -
$9^{\log _{9} 2} +\log _{5} \frac{1}{25} ;$
\[9^{{{log}_9 2\ }}+{{log}_5 \frac{1}{25}\ }=2+\left(-\frac{1}{2}\right)=1,5\]
