Как нам уже известно, случайную величину можно задавать с помощью таблицы или с помощью функции распределения вероятности. Предположим теперь, что случайная величина X является непрерывной, а функция распределения вероятности F(x) непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Тогда для такой случайной величины существует еще один способ её задания -- задания с помощью плотности распределения.
Плотностью распределения φ(x) непрерыной случайной величины называется первая производная от функции распределения вероятности F(x).
!!! Подчеркнем, что данное понятие не применимо к дискретной случайной величине.
Геометрически, плотность распределения связана с функцией распределения вероятностей следующим образом: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения и находящейся по левую сторону от величины x и есть функция распределения вероятности (рис. 1).
Рисунок 1. Связь функций φ(x) и F(x).
То есть:
Геометрический смысл: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения φ(x) и прямыми x=α, x=β и y=0 (рис. 2).
Рисунок 2. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β).
Примеры задач на понятие плотности распределения
Пусть функция распределения F(x) случайной величины X имеет следующий вид:
Рисунок 3.
а) Найти значение α.
б) Найти плотность распределения φ(x).
в) Построить график плотности распределения.
г) Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (1,2)
Решение:
а) Так как необходимо найти плотность распределения, то случайная величина X является непрерывной.
Тогда, при x=3, получим, что (α+1)x2=1, то есть
9α+9=1,То есть:
Рисунок 4.
б) Так как φ(x) = F′(x), то получим:
Рисунок 5.
в) Построим график функции φ(x).
Рисунок 6.
г) Воспользовавшись геометрическим смыслом функции плотности распределения получим, что нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией y=29x и прямыми x=1, x=2 и y=0.
Таким образом, получим:
\[P\left(1Найти функцию распределения непрерывной случайной величины и построить её график, если плотность распределения имеет вид:
Рисунок 7.
Решение.
При решении будем использовать следующую формулу: F(x)=x∫−∞φ(x)dx
\begin{enumerate} \item При x≤0, по формуле, получим:
F(x)=x∫−∞φ(x)dx=x∫−∞0dx=0\item При $0 F(x)=x∫−∞φ(x)=0∫−∞0dx+x∫0dx4=0+x4−0=x4
\item При x>2, по формуле, получим:
F(x)=x∫−∞φ(x)=0∫−∞0dx+2∫0dx4+x∫20dx=0+12−0+0=12\end{enumerate}
Таким образом, функция распределения имеет вид:
Рисунок 8.
Построим её график.
Рисунок 9.
!!! Заметим, что, так как дана плотность распределения, то случайная величина является непрерывной. Следовательно, функция F(x) также должна быть непрерывной (как и получилось в нашем примере). Это может служить косвенной проверкой правильности решения такого рода задач.
