Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов $P_{m} (x)$ и $Q_{n} (x)$ степеней $m$ и $n$ соответственно:
\[R(x)=\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =\frac{a_{0} x^{m} +a_{1} x^{m-1} +...+a_{m-1} x+a_{m} }{b_{0} x^{n} +b_{1} x^{n-1} +...+b_{n-1} x+b_{n} } ,\, \, a_{0} \ne 0,b_{0} \ne 0.\]Дробь $\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} $ называется правильной рациональной дробью, если $m
Правильные рациональные дроби вида:
I. $\frac{A}{x-a} $,
II. $\frac{A}{(x-a)^{k} } ,\, \, k\in Z,\, \, k\ge 2$,
III. $\frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} ,\, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
IV. $\frac{Ax+B}{(x^{2} +px+q)^{k} } ,\, \, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.
Определить тип простейшей рациональной дроби:
1) $\frac{1}{x+2} $; 2) $\frac{x-2}{x^{2} +x+3} $; 3) $\frac{x-2}{(x^{2} +x+3)^{4} } $; 4) $\frac{5}{(x+1)^{2} } $.
Решение:
1) $\frac{1}{x+2} $ - рациональная дробь I типа (по определению 3);
2) $\frac{x-2}{x^{2} +x+3} $- рациональная дробь III типа (по определению 3);
3) $\frac{x-2}{(x^{2} +x+3)^{4} } $- рациональная дробь IV типа (по определению 3);
4) $\frac{5}{(x+1)^{2} } $ - рациональная дробь II типа (по определению 3).
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.
Общий вид разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби приведен ниже:
\[\begin{array}{l} {\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =\frac{A_{1} }{(x-a)^{n_{a} } } +\frac{A_{2} }{(x-a)^{n_{a} -1} } +...+\frac{A_{n_{a} } }{x-a} +\frac{B_{1} }{(x-b)^{n_{b} } } +\frac{B_{2} }{(x-b)^{n_{b} -1} } +...+\frac{B_{n_{b} } }{x-b} +...+} \\ {+\frac{E_{1} x+F_{1} }{(x^{2} +ex+f)^{n_{e} } } +\frac{E_{2} x+F_{2} }{(x^{2} +ex+f)^{n_{e} } } +...+\frac{E_{n_{e} } x+F_{n_{e} } }{x^{2} +ex+f} +\frac{G_{1} x+K_{1} }{(x^{2} +gx+k)^{n_{g} } } +\frac{G_{2} x+K_{2} }{(x^{2} +gx+k)^{n_{g} } } +...+} \\ {+\frac{G_{n_{e} } x+K_{n_{e} } }{x^{2} +gx+k} +...} \end{array}\]Числа $A_{i} ,B_{i} ,E_{i} ,...$ -- действительные числа (или неопределенные коэффициенты), которые необходимо определить.
Записать в общем виде разложение дроби на простейшие:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} \]Решение:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^{2} } +\frac{C}{x+2} \]Записать в общем виде разложение дроби на простейшие:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)^{2} \cdot (x+2)} \]Решение:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)^{2} \cdot (x+2)} =\frac{Ax+B}{x^{2} -1} +\frac{Cx+D}{(x^{2} -1)^{2} } +\frac{E}{x+2} \]Задача разложения правильной дроби на простейшие состоит в следующем: некоторую правильную рациональную дробь необходимо представить в виде суммы простейших рациональных дробей I, II, III и IV типов.
Алгоритм разложения дроби на простейшие:
- В первую очередь необходимо убедиться, что выполняется следующее условие: многочлен, содержащийся в знаменателе правильной рациональной дроби, разложен на множители так, что данное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^{n} $ или $(x^{2} +px+q)^{n} $ (где $p^{2} -4q
- Каждой скобке вида $(x-a)$, которая расположена в знаменателе, соответствует дробь вида $\frac{A}{x-a} $.
- Каждой скобке вида $(x-a)^{n} $ ($n=2,3,4,...$), которая расположена в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{A_{1} }{x-a} +\frac{A_{2} }{(x-a)^{2} } +...+\frac{A_{n} }{(x-a)^{n} } $.
- Каждой скобке вида $(x^{2} +px+q)$ ($p^{2} -4q
- Каждой скобке вида $(x^{2} +px+q)^{n} $ ($p^{2} -4q
Если задана неправильная дробь, то сначала необходимо разбить дробь на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби, а затем применить приведенный выше алгоритм.
При разложении дроби на простейшие на практике используется метод неопределенных коэффициентов. Данный алгоритм включает следующие этапы:
- Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде (с неопределенными коэффициентами);
- Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами;
- Приравниваем полученную дробь и исходную дробь;
- Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.
Записать разложение дроби на простейшие:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} \]Решение:
Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^{2} } +\frac{C}{x+2} \]Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:
\[\begin{array}{l} {\frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^{2} } +\frac{C}{x+2} =\frac{Ax-A+B}{(x-1)^{2} } +\frac{C}{x+2} =\frac{(Ax-A+B)(x+2)+C(x-1)^{2} }{(x-1)^{2} (x+2)} =} \\ {=\frac{Ax^{2} -Ax+Bx+2Ax-2A+2B+Cx^{2} -2Cx+C}{(x-1)^{2} (x+2)} =\frac{(A+C)x^{2} +(A+B-2C)x-2A+2B+C}{(x-1)^{2} (x+2)} } \end{array}\]Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} =\frac{(A+C)x^{2} +(A+B-2C)x-2A+2B+C}{(x-1)^{2} (x+2)} \]Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:
$\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{c} {A+C=0} \\ {A+B-2C=3} \\ {-2A+2B+C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {-C+B-2C=3} \\ {2C+2B+C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {B-3C=3} \\ {2B+3C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {B=3+3C} \\ {6+6C+3C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {B=3+3C} \\ {9C=-4} \end{array}\right. \Rightarrow } \\ {\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=4/9} \\ {B=3-12/9} \\ {C=-4/9} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=4/9} \\ {B=5/3} \\ {C=-4/9} \end{array}\right. } \end{array}$
Искомое разложение:
\[\frac{3x+2}{(x-1)^{2} \cdot (x+2)} =\frac{4/9}{x-1} +\frac{5/3}{(x-1)^{2} } -\frac{4/9}{x+2} \]Записать разложение дроби на простейшие:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)\cdot (x+2)} \]Решение:
Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)\cdot (x+2)} =\frac{Ax+B}{x^{2} -1} +\frac{C}{x+2} \]Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:
\[\begin{array}{l} {\frac{Ax+B}{x^{2} -1} +\frac{C}{x+2} =\frac{(Ax+B)\cdot (x+2)+C\cdot (x^{2} -1)}{(x^{2} -1)(x+2)} =\frac{Ax^{2} +Bx+2Ax+2B+Cx^{2} -C}{(x^{2} -1)(x+2)} =} \\ {=\frac{(A+C)x^{2} +(2A+B)x+2B-C}{(x^{2} -1)(x+2)} } \end{array}\]Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)\cdot (x+2)} =\frac{(A+C)x^{2} +(2A+B)x+2B-C}{(x^{2} -1)(x+2)} \]Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:
\[\left\{\begin{array}{c} {A+C=0} \\ {2A+B=3} \\ {2B-C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {-2C+B=3} \\ {2B-C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {B=3+2C} \\ {6+4C-C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=-C} \\ {B=3+2C} \\ {3C=-4} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=4/3} \\ {B=3-8/3} \\ {C=-4/3} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=4/3} \\ {B=1/3} \\ {C=-4/3} \end{array}\right. \]Искомое разложение:
\[\frac{3x+2}{(x^{2} -1)\cdot (x+2)} =\frac{\frac{4}{3} x+\frac{1}{3} }{x^{2} -1} -\frac{\frac{4}{3} }{x+2} =\frac{1}{3} \cdot \frac{4x+1}{x^{2} -1} -\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{x+2} \]
