Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции y=f(x), определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции y=f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом f(x)dx.

Замечание

Определение 2 можно записать следующим образом:

f(x)dx=F(x)+C.
Определение 2

Интегрирование функции y=f(x) -- это операция нахождения первообразной от заданной функции y=f(x) (неопределенного интеграла заданной функции y=f(x)).

Рассмотрим интегралы от некоторых тригонометрических функций следующего вида:

  • R(sinx,cosx)dx;

  • R(sinx)cosxdx;

  • R(cosx)sinxdx;

  • R(tgx)dx;

  • cosmxcosnxdx,sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx.

Интеграл вида R(sinx,cosx)dx можно привести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:

В данном случае функции sinx,cosx выражаются через tgx2 следующим образом:

Учитывая, что

получим

Пример 1

Выполнить интегрирование:

dxsinx.

Решение:

Сделаем подстановку tgx2=t (см. выше) и получим:

dxsinx=2dt1+t22t1+t2=dtt=ln|t|+C.

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

dxsinx=ln|tgx2|+C.

Универсальная подстановка дает возможность вычислить любой интеграл вида R(sinx,cosx)dx. Но на практике данная подстановка зачастую приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому иногда целесообразнее использовать другие подстановки.

Интеграл вида R(sinx)cosxdx можно привести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью следующей подстановки:

sinx=t,cosxdx=dt.

Интеграл вида R(cosx)sinxdx можно привести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью следующей подстановки:

cosx=t,sinxdx=dt.

Интеграл вида R(tgx)dx можно привести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью следующей подстановки:

tgx=t,x=arctgt,dx=dt1+t2.

Интеграл вида R(sinx,cosx)dx, где функции sinx,cosx в четных степенях, можно привести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:

tgx=t,x=arctgt,dx=dt1+t2,
sin2x=tg2x1+tg2x=t21+t2,cos2x=11+tg2x=11+t2.
«Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 2

Выполнить интегрирование:

sinx2+cosxdx.

Решение:

sinx2+cosxdx=12+cosxsinxdx

Сделаем подстановку cosx=t,sinxdx=dt (см. выше) и получим:

sinx2+cosxdx=dt2+t=dt2+t=d(2+t)2+t=ln|2+t|+C

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

sinx2+cosxdx=ln|2+cosx|+C.
Пример 3

Выполнить интегрирование:

dx2sin2x.

Решение:

Сделаем подстановку tgx=t,dx=dt1+t2 (см. выше) и получим:

dx2sin2x=dt(2t21+t2)(1+t2)=dt2+t2=12arctgt2+C.

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

dx2sin2x=12arctgtgx2+C.

Для вычисления интегралов вида sinmxcosnxdx (m,n - целые числа) используются следующие подстановки:

1 случай (одна из степеней является нечетным числом):

Пусть n - нечетное число. Положив n=2p+1, преобразуем исходный интеграл:

sinmxcos2p+1xdx=sinmxcos2pxcosxdx=sinmx(1sin2)pxcosxdx.

Сделаем подстановку sinx=t,cosxdx=dt и получим:

sinmxcosnxdx=tm(1t2)pdt.

2 случай (степени четные и неотрицательные):

Положив m=2p,n=2q, преобразуем исходный интеграл:

sin2pxcos2qxdx=(1cos2x2)p(1+cos2x2)qdx.

3 случай (степени четные и хотя бы одна отрицательная):

Интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции (R(t)dt) с помощью следующих подстановок: tgx=t или ctgx=t.

Для вычисления интегралов вида cosmxcosnxdx,sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx используются следующие тригонометрические формулы:

cosmxcosnx=12(cos(m+n)x+cos(mn)x),sinmxcosnx=12(sin(m+n)x+sin(mn)x),sinmxsinnx=12(cos(m+n)x+cos(mn)x).
Пример 4

Выполнить интегрирование:

sin3xsinxdx.

Решение:

По формуле получим:

sin3xsinx=12(cos4x+cos2x).

Подставим в интеграл и получим:

sin3xsinxdx=12(cos4x+cos2x)dx=12(cos4xdx+cos2xdx)==12(14cos4xd(4x)+12cos2xd(2x))=12(sin4x4+sin2x2)+C=14(sin4x2+sin2x)+C
Дата последнего обновления статьи: 01.03.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant