Совокупность всех первообразных заданной функции y=f(x), определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции y=f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом ∫f(x)dx.
Определение 2 можно записать следующим образом:
∫f(x)dx=F(x)+C.Интегрирование функции y=f(x) -- это операция нахождения первообразной от заданной функции y=f(x) (неопределенного интеграла заданной функции y=f(x)).
Рассмотрим интегралы от некоторых тригонометрических функций следующего вида:
-
∫R(sinx,cosx)dx;
-
∫R(sinx)cosxdx;
-
∫R(cosx)sinxdx;
-
∫R(tgx)dx;
-
∫cosmxcosnxdx,∫sinmxcosnxdx,∫sinmxsinnxdx.
Интеграл вида ∫R(sinx,cosx)dx можно привести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:
В данном случае функции sinx,cosx выражаются через tgx2 следующим образом:
Учитывая, что
получим
Выполнить интегрирование:
∫dxsinx.Решение:
Сделаем подстановку tgx2=t (см. выше) и получим:
∫dxsinx=∫2dt1+t22t1+t2=∫dtt=ln|t|+C.Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
∫dxsinx=ln|tgx2|+C.Универсальная подстановка дает возможность вычислить любой интеграл вида ∫R(sinx,cosx)dx. Но на практике данная подстановка зачастую приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому иногда целесообразнее использовать другие подстановки.
Интеграл вида ∫R(sinx)cosxdx можно привести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью следующей подстановки:
sinx=t,cosxdx=dt.Интеграл вида ∫R(cosx)sinxdx можно привести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью следующей подстановки:
cosx=t,sinxdx=−dt.Интеграл вида ∫R(tgx)dx можно привести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью следующей подстановки:
tgx=t,x=arctgt,dx=dt1+t2.Интеграл вида ∫R(sinx,cosx)dx, где функции sinx,cosx в четных степенях, можно привести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:
tgx=t,x=arctgt,dx=dt1+t2,Выполнить интегрирование:
∫sinx2+cosxdx.Решение:
∫sinx2+cosxdx=∫12+cosx⋅sinxdxСделаем подстановку cosx=t,sinxdx=−dt (см. выше) и получим:
∫sinx2+cosxdx=∫−dt2+t=−∫dt2+t=−∫d(2+t)2+t=−ln|2+t|+CСделав обратную замену, получим окончательный результат:
∫sinx2+cosxdx=−ln|2+cosx|+C.Выполнить интегрирование:
∫dx2−sin2x.Решение:
Сделаем подстановку tgx=t,dx=dt1+t2 (см. выше) и получим:
∫dx2−sin2x=∫dt(2−t21+t2)⋅(1+t2)=∫dt2+t2=1√2⋅arctgt√2+C.Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
∫dx2−sin2x=1√2⋅arctgtgx√2+C.Для вычисления интегралов вида ∫sinmxcosnxdx (m,n - целые числа) используются следующие подстановки:
1 случай (одна из степеней является нечетным числом):
Пусть n - нечетное число. Положив n=2p+1, преобразуем исходный интеграл:
∫sinmxcos2p+1xdx=∫sinmxcos2pxcosxdx=∫sinmx(1−sin2)pxcosxdx.Сделаем подстановку sinx=t,cosxdx=dt и получим:
∫sinmxcosnxdx=∫tm(1−t2)pdt.2 случай (степени четные и неотрицательные):
Положив m=2p,n=2q, преобразуем исходный интеграл:
∫sin2pxcos2qxdx=∫(1−cos2x2)p(1+cos2x2)qdx.3 случай (степени четные и хотя бы одна отрицательная):
Интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции (∫R(t)dt) с помощью следующих подстановок: tgx=t или ctgx=t.
Для вычисления интегралов вида ∫cosmxcosnxdx,∫sinmxcosnxdx,∫sinmxsinnxdx используются следующие тригонометрические формулы:
cosmxcosnx=12⋅(cos(m+n)x+cos(m−n)x),sinmxcosnx=12⋅(sin(m+n)x+sin(m−n)x),sinmxsinnx=12⋅(−cos(m+n)x+cos(m−n)x).Выполнить интегрирование:
∫sin3xsinxdx.Решение:
По формуле получим:
sin3xsinx=12⋅(−cos4x+cos2x).Подставим в интеграл и получим:
∫sin3xsinxdx=12⋅∫(−cos4x+cos2x)dx=12⋅(−∫cos4xdx+∫cos2xdx)==12⋅(−14∫cos4xd(4x)+12∫cos2xd(2x))=12⋅(−sin4x4+sin2x2)+C=14⋅(−sin4x2+sin2x)+C