Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Определение 2 можно записать следующим образом:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]Интегрирование функции $y=f(x)$ -- это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$).
Рассмотрим интегралы от некоторых тригонометрических функций следующего вида:
-
$\int R(\sin x,\cos x)dx $;
-
$\int R(\sin x)\cos xdx $;
-
$\int R(\cos x)\sin xdx $;
-
$\int R(tgx)dx $;
-
$\int \cos mx\cos nxdx ,\int \sin mx\cos nxdx ,\int \sin mx\sin nxdx $.
Интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)dx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:
В данном случае функции $\sin x,\cos x$ выражаются через $tg\frac{x}{2} $ следующим образом:
Учитывая, что
получим
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{\sin x} .\]Решение:
Сделаем подстановку $tg\frac{x}{2} =t$ (см. выше) и получим:
\[\int \frac{dx}{\sin x} =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2} } }{\frac{2t}{1+t^{2} } } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C.\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{\sin x} =\ln |tg\frac{x}{2} |+C.\]Универсальная подстановка дает возможность вычислить любой интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)dx $. Но на практике данная подстановка зачастую приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому иногда целесообразнее использовать другие подстановки.
Интеграл вида $\int R(\sin x)\cos xdx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:
\[\sin x=t,\cos xdx=dt.\]Интеграл вида $\int R(\cos x)\sin xdx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:
\[\cos x=t,\sin xdx=-dt.\]Интеграл вида $\int R(tgx)dx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:
\[tgx=t,x=arctgt,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } .\]Интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)dx $, где функции $\sin x,\cos x$ в четных степенях, можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:
\[tgx=t,x=arctgt,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } ,\] \[\sin ^{2} x=\frac{tg^{2} x}{1+tg^{2} x} =\frac{t^{2} }{1+t^{2} } , \cos ^{2} x=\frac{1}{1+tg^{2} x} =\frac{1}{1+t^{2} } .\]Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx .\]Решение:
\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =\int \frac{1}{2+\cos x} \cdot \sin xdx \]Сделаем подстановку $\cos x=t,\sin xdx=-dt$ (см. выше) и получим:
\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =\int \frac{-dt}{2+t} =-\int \frac{dt}{2+t} =-\int \frac{d(2+t)}{2+t} =-\ln |2+t|+C\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =-\ln |2+\cos x|+C.\]Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} .\]Решение:
Сделаем подстановку $tgx=t,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } $ (см. выше) и получим:
\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} =\int \frac{dt}{\left(2-\frac{t^{2} }{1+t^{2} } \right)\cdot (1+t^{2} )} =\int \frac{dt}{2+t^{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{t}{\sqrt{2} } +C.\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} =\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{tgx}{\sqrt{2} } +C.\]Для вычисления интегралов вида $\int \sin ^{m} x\cos ^{n} xdx $ ($m,n$ - целые числа) используются следующие подстановки:
1 случай (одна из степеней является нечетным числом):
Пусть $n$ - нечетное число. Положив $n=2p+1$, преобразуем исходный интеграл:
\[\int \sin ^{m} x\cos ^{2p+1} xdx =\int \sin ^{m} x\cos ^{2p} x\cos xdx =\int \sin ^{m} x(1-\sin ^{2} )^{p} x\cos xdx .\]Сделаем подстановку $\sin x=t,\cos xdx=dt$ и получим:
\[\int \sin ^{m} x\cos ^{n} xdx =\int t^{m} (1-t^{2} )^{p} dt .\]2 случай (степени четные и неотрицательные):
Положив $m=2p,n=2q$, преобразуем исходный интеграл:
\[\int \sin ^{2p} x\cos ^{2q} xdx =\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{p} \left(\frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{q} dx .\]3 случай (степени четные и хотя бы одна отрицательная):
Интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующих подстановок: $tgx=t\, $ или $ctgx=t$.
Для вычисления интегралов вида $\int \cos mx\cos nxdx ,\int \sin mx\cos nxdx ,\int \sin mx\sin nxdx $ используются следующие тригонометрические формулы:
\[\begin{array}{l} {\cos mx\cos nx=\frac{1}{2} \cdot \left(\cos (m+n)x+\cos (m-n)x\right),} \\ {\sin mx\cos nx=\frac{1}{2} \cdot \left(\sin (m+n)x+\sin (m-n)x\right),} \\ {\sin mx\sin nx=\frac{1}{2} \cdot \left(-\cos (m+n)x+\cos (m-n)x\right).} \end{array}\]Выполнить интегрирование:
\[\int \sin 3x\sin xdx .\]Решение:
По формуле получим:
\[\sin 3x\sin x=\frac{1}{2} \cdot \left(-\cos 4x+\cos 2x\right).\]Подставим в интеграл и получим:
\[\begin{array}{l} {\int \sin 3x\sin xdx =\frac{1}{2} \cdot \int \left(-\cos 4x+\cos 2x\right)dx =\frac{1}{2} \cdot \left(-\int \cos 4xdx +\int \cos 2xdx \right)=} \\ {=\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4} \int \cos 4xd(4x) +\frac{1}{2} \int \cos 2xd(2x) \right)=\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sin 4x}{4} +\frac{\sin 2x}{2} \right)+C=\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sin 4x}{2} +\sin 2x\right)+C} \end{array}\]
