Совокупность всех первообразных заданной функции y=f(x), определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции y=f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом ∫f(x)dx.
Определение 2 можно записать следующим образом:
∫f(x)dx=F(x)+C.Интегрирование функции y=f(x) - это операция нахождения первообразной от заданной функции y=f(x) (неопределенного интеграла заданной функции y=f(x)).
Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования.
Существуют различные методы вычисления неопределенного интеграла, например:
- подстановка (замена переменной);
- интегрирование по частям;
- и т.д.
Замена переменной (подстановка) - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.
Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграл вводится новая переменная интегрирования или делается подстановка. В результате чего исходный интеграл сводится либо к некоторому табличному интегралу, либо к интегралу, который к нему сводится.
После вычисления интеграла по новой переменной t нужно обязательно возвратиться к первоначальной переменной x.
Алгоритм метода:
Пусть дан интеграл ∫f(x)dx.
Сделаем следующую подстановку x=ϕ(t), при этом функция ϕ(t) дифференцируема.
dx=d(ϕ(t))=ϕ′(t)dt.Исходный интеграл будет иметь вид:
∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))⋅ϕ′(t)dt.Полученную формулу называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Иногда целесообразнее делать замену не в виде x=ϕ(t), а в виде t=ψ(x).
Проиллюстрировать замечание 2 при нахождении интеграла ∫ψ′(x)dxψ(x).
Решение:
Сделаем замену ψ(x)=t.
Дифференцируя, получим ψ′(x)dx=dt.
Вычислим исходный интеграл:
∫ψ′(x)dxψ(x)=∫dtt=ln|t|+C=ln|ψ(x)|+C.Вычислить следующий интеграл: ∫√sinx⋅cosxdx
Решение:
Сделаем подстановку: t=sinx.
Тогда: dt=cosxdx.
Подставим в исходный интеграл:
∫√sinx⋅cosxdx=∫√tdt=∫t1/2dt=2t3/23+C=23⋅√t3+C=23⋅√sin3x+C==23⋅sinx⋅√sinx+CИнтегрирование по частям - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.
Суть метода заключается в том, что если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:
∫udv=uv−∫vdu.Полученную формулу называют формулой интегрирования по частям.
При нахождении функции v путем интегрирования выражения dv, константу C можно считать равной нулю.
Рассмотрим функции u=u(x),v=v(x), имеющие непрерывные производные. По свойствам дифференциалов, справедливо следующее равенство:
d(uv)=udv+vdu.Проинтегрировав левую часть и правую часть последнего равенства, получим:
∫d(uv)=∫udv+vdu⇒uv=∫udv+∫vduПолученное равенство можно переписать в виде:
∫udv=uv−∫vduВычислить следующий интеграл: ∫x⋅exdx.
Решение:
Полагая u=x,dv=exdx, получим du=dx,v=∫exdx=ex.
По соответствующей формуле получим:
∫x⋅exdx=x⋅ex−∫exdx=x⋅ex−ex+CСледовательно,
∫x⋅exdx=x⋅ex−ex+C.Иногда для вычисления сложных интегралов формула интегрирования по частям используется несколько раз.
Формулу интегрирования по частям имеет смысл применять при вычислении интегралов следующего вида:
- ∫Pn(x)⋅ekxdx;∫Pn(x)⋅sin(kx)dx;∫Pn(x)⋅cos(kx)dx, где Pn(x) - это многочлен степени n, k=const;
- ∫Pn(x)⋅lnxdx;∫Pn(x)⋅arcsin(kx)dx;∫Pn(x)⋅arccos(kx)dx;
- ∫ekx+b⋅sin(cx+f)dx;∫ekx+b⋅cos(cx+f)dx
В первом случае в качестве функции u выбирается многочлен Pn(x), в качестве dv - оставшиеся под знаком интеграла множители. Для интеграла подобного вида формула интегрирования по частям применяется n раз.
Во втором случае в качестве dv выбирается dv=Pn(x)dx, а в качестве функции u - оставшиеся сомножители.
В третьем случае в качестве функции u выбирается либо экспонента, либо тригонометрическая функция. При повторном применении формулы интегрирования по частям в качестве функции u выбирается та же функция (экспонента либо тригонометрическая функция соответственно).
Вычислить следующий интеграл: ∫x⋅sin(2x)dx
Решение:
Полагая u=x,dv=sin2xdx, получим du=dx,v=∫sin2xdx=12∫sin2xd(2x)=−12cos2x.
По соответствующей формуле получим:
∫x⋅sin(2x)dx=−12x⋅cos2x+12∫cos2xdx=−12x⋅cos2x+14∫cos2xd(2x)=−12x⋅cos2x++14sin2x+CСледовательно,
∫x⋅sin(2x)dx=−12x⋅cos2x+14sin2x+C.Вычислить следующий интеграл: ∫x⋅lnxdx
Решение:
Полагая u=lnx,dv=xdx, получим du=dxx,v=∫xdx=x22.
По соответствующей формуле получим:
∫x⋅lnxdx=lnx⋅x22−∫x22⋅dxx=lnx⋅x22−12∫xdx=lnx⋅x22−x24+C.Следовательно,
∫x⋅lnxdx=lnx⋅x22−x24+C.Вычислить следующий интеграл: ∫ex⋅sinxdx
Решение:
Полагая u=sinx,dv=exdx, получим du=cosxdx,v=∫exdx=ex.
Используя формулу, получим:
∫sinx⋅exdx=sinx⋅ex−∫ex⋅cosxdx.Пусть u1=cosx,dv1=exdx, тогда du1=−sinxdx,v1=∫exdx=ex.
По соответствующей формуле получим:
∫sinx⋅exdx=sinx⋅ex−∫ex⋅cosxdx=sinx⋅ex−(cosx⋅ex+∫ex⋅sinxdx)=sinx⋅ex−−cosx⋅ex−∫ex⋅sinxdx.Выразим исходный интеграл:
∫sinx⋅exdx=sinx⋅ex−cosx⋅ex−∫ex⋅sinxdx;Следовательно,
∫sinx⋅exdx=12⋅(sinx⋅ex−cosx⋅ex)+C.
