Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Первообразная и неопределенный интеграл
Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям

Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$ , определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$ . Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx$ .

Примечание 1

Определение 2 можно записать следующим образом:

$\int f(x)dx =F(x)+C.$

Определение 2

Интегрирование функции $y=f(x)$ - это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$ ).

Примечание 2

Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования.

Существуют различные методы вычисления неопределенного интеграла, например:

подстановка (замена переменной);
интегрирование по частям;
и т.д.

Замена переменной (подстановка) - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграл вводится новая переменная интегрирования или делается подстановка. В результате чего исходный интеграл сводится либо к некоторому табличному интегралу, либо к интегралу, который к нему сводится.

Примечание 3

После вычисления интеграла по новой переменной $t$ нужно обязательно возвратиться к первоначальной переменной $x$ .

Определение 3

Алгоритм метода:

Пусть дан интеграл $\int f(x)dx$ .

Сделаем следующую подстановку $x=\phi (t)$ , при этом функция $\phi (t)$ дифференцируема.

Вычислим дифференциал:

$dx=d\left(\phi (t)\right)=\phi '(t)dt.$

Исходный интеграл будет иметь вид:

$\int f(x)dx =\int f\left(\phi (t)\right)\cdot \phi '(t)dt .$

Полученную формулу называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

«Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Примечание 4

Иногда целесообразнее делать замену не в виде $x=\phi (t)$ , а в виде $t=\psi (x)$ .

Пример 1

Проиллюстрировать замечание 2 при нахождении интеграла $\int \frac{\psi '(x)dx}{\psi (x)}$ .

Решение:

Сделаем замену $\psi (x)=t$ .

Дифференцируя, получим $\psi '(x)dx=dt$ .

Вычислим исходный интеграл:

$\int \frac{\psi '(x)dx}{\psi (x)} =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C=\ln |\psi (x)|+C.$

Пример 2

Вычислить следующий интеграл: $\int \sqrt{\sin x} \cdot \cos xdx$

Решение:

Сделаем подстановку: $t=\sin x$ .

Тогда: $dt=\cos xdx$ .

Подставим в исходный интеграл:

$\begin{array}{l} {\int \sqrt{\sin x} \cdot \cos xdx =\int \sqrt{t} dt =\int t^{1/2} dt =\frac{2t^{3/2} }{3} +C=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{t^{3} } +C=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\sin ^{3} x} +C=} \\ {=\frac{2}{3} \cdot \sin x\cdot \sqrt{\sin x} +C} \end{array}$

Интегрирование по частям - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода заключается в том, что если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

$\int udv =uv-\int vdu .$

Полученную формулу называют формулой интегрирования по частям.

Примечание 5

При нахождении функции $v$ путем интегрирования выражения $dv$ , константу $C$ можно считать равной нулю.

Рассмотрим функции $u=u(x),\, \, v=v(x)$ , имеющие непрерывные производные. По свойствам дифференциалов, справедливо следующее равенство:

$d(uv)=udv+vdu.$

Проинтегрировав левую часть и правую часть последнего равенства, получим:

$\int d(uv) =\int udv+vdu \Rightarrow uv=\int udv +\int vdu$

Полученное равенство можно переписать в виде:

$\int udv =uv-\int vdu$

Пример 3

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot e^{x} dx$ .

Решение:

Полагая $u=x,dv=e^{x} dx$ , получим $du=dx,v=\int e^{x} dx =e^{x}$ .

По соответствующей формуле получим:

$\int x\cdot e^{x} dx =x\cdot e^{x} -\int e^{x} dx =x\cdot e^{x} -e^{x} +C$

Следовательно,

$\int x\cdot e^{x} dx =x\cdot e^{x} -e^{x} +C.$

Примечание 6

Иногда для вычисления сложных интегралов формула интегрирования по частям используется несколько раз.

Примечание 7

Формулу интегрирования по частям имеет смысл применять при вычислении интегралов следующего вида:

$\int P_{n} (x)\cdot e^{kx} dx ;\int P_{n} (x)\cdot \sin (kx)dx ;\int P_{n} (x)\cdot \cos (kx)dx$ , где $P_{n} (x)$ - это многочлен степени $n$ , $k=const$ ;
$\int P_{n} (x)\cdot \ln xdx ;\int P_{n} (x)\cdot \arcsin (kx)dx ;\int P_{n} (x)\cdot \arccos (kx)dx$ ;
$\int e^{kx+b} \cdot \sin (cx+f)dx ;\int e^{kx+b} \cdot \cos (cx+f)dx$

В первом случае в качестве функции $u$ выбирается многочлен $P_{n} (x)$ , в качестве $dv$ - оставшиеся под знаком интеграла множители. Для интеграла подобного вида формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.

Во втором случае в качестве $dv$ выбирается $dv=P_{n} (x)dx$ , а в качестве функции $u$ - оставшиеся сомножители.

В третьем случае в качестве функции $u$ выбирается либо экспонента, либо тригонометрическая функция. При повторном применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ выбирается та же функция (экспонента либо тригонометрическая функция соответственно).

Пример 4

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \sin (2x)dx$

Решение:

Полагая $u=x,dv=\sin 2xdx$ , получим $du=dx,v=\int \sin 2xdx =\frac{1}{2} \int \sin 2xd(2x) =-\frac{1}{2} \cos 2x$ .

По соответствующей формуле получим:

$\begin{array}{l} {\int x\cdot \sin (2x)dx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{2} \int \cos 2xdx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{4} \int \cos 2xd(2x) =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+} \\ {+\frac{1}{4} \sin 2x+C} \end{array}$

Следовательно,

$\int x\cdot \sin (2x)dx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{4} \sin 2x+C.$

Пример 5

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \ln xdx$

Решение:

Полагая $u=\ln x,dv=xdx$ , получим $du=\frac{dx}{x} ,v=\int xdx =\frac{x^{2} }{2}$ .

По соответствующей формуле получим:

$\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\int \frac{x^{2} }{2} \cdot \frac{dx}{x} =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{1}{2} \int xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{2} }{4} +C.$

Следовательно,

$\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{2} }{4} +C.$

Пример 6

Вычислить следующий интеграл: $\int e^{x} \cdot \sin xdx$

Решение:

Полагая $u=\sin x,dv=e^{x} dx$ , получим $du=\cos xdx,v=\int e^{x} dx =e^{x}$ .

Используя формулу, получим:

$\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \cos xdx .$

Пусть $u_{1} =\cos x,dv_{1} =e^{x} dx$ , тогда $du_{1} =-\sin xdx,v_{1} =\int e^{x} dx =e^{x}$ .

По соответствующей формуле получим:

$\begin{array}{l} {\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \cos xdx =\sin x\cdot e^{x} -\left(\cos x\cdot e^{x} +\int e^{x} \cdot \sin xdx \right)=\sin x\cdot e^{x} -} \\ {-\cos x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \sin xdx } \end{array}.$

Выразим исходный интеграл: