Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции y=f(x), определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции y=f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом f(x)dx.

Примечание 1

Определение 2 можно записать следующим образом:

f(x)dx=F(x)+C.
Определение 2

Интегрирование функции y=f(x) - это операция нахождения первообразной от заданной функции y=f(x) (неопределенного интеграла заданной функции y=f(x)).

Примечание 2

Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования.

Существуют различные методы вычисления неопределенного интеграла, например:

  • подстановка (замена переменной);
  • интегрирование по частям;
  • и т.д.

Замена переменной (подстановка) - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграл вводится новая переменная интегрирования или делается подстановка. В результате чего исходный интеграл сводится либо к некоторому табличному интегралу, либо к интегралу, который к нему сводится.

Примечание 3

После вычисления интеграла по новой переменной t нужно обязательно возвратиться к первоначальной переменной x.

Определение 3

Алгоритм метода:

Пусть дан интеграл f(x)dx.

Сделаем следующую подстановку x=ϕ(t), при этом функция ϕ(t) дифференцируема.

Вычислим дифференциал:

dx=d(ϕ(t))=ϕ(t)dt.

Исходный интеграл будет иметь вид:

f(x)dx=f(ϕ(t))ϕ(t)dt.

Полученную формулу называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

«Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Примечание 4

Иногда целесообразнее делать замену не в виде x=ϕ(t), а в виде t=ψ(x).

Пример 1

Проиллюстрировать замечание 2 при нахождении интеграла ψ(x)dxψ(x).

Решение:

Сделаем замену ψ(x)=t.

Дифференцируя, получим ψ(x)dx=dt.

Вычислим исходный интеграл:

ψ(x)dxψ(x)=dtt=ln|t|+C=ln|ψ(x)|+C.
Пример 2

Вычислить следующий интеграл: sinxcosxdx

Решение:

Сделаем подстановку: t=sinx.

Тогда: dt=cosxdx.

Подставим в исходный интеграл:

sinxcosxdx=tdt=t1/2dt=2t3/23+C=23t3+C=23sin3x+C==23sinxsinx+C

Интегрирование по частям - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода заключается в том, что если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

udv=uvvdu.

Полученную формулу называют формулой интегрирования по частям.

Примечание 5

При нахождении функции v путем интегрирования выражения dv, константу C можно считать равной нулю.

Рассмотрим функции u=u(x),v=v(x), имеющие непрерывные производные. По свойствам дифференциалов, справедливо следующее равенство:

d(uv)=udv+vdu.

Проинтегрировав левую часть и правую часть последнего равенства, получим:

d(uv)=udv+vduuv=udv+vdu

Полученное равенство можно переписать в виде:

udv=uvvdu
Пример 3

Вычислить следующий интеграл: xexdx.

Решение:

Полагая u=x,dv=exdx, получим du=dx,v=exdx=ex.

По соответствующей формуле получим:

xexdx=xexexdx=xexex+C

Следовательно,

xexdx=xexex+C.
Примечание 6

Иногда для вычисления сложных интегралов формула интегрирования по частям используется несколько раз.

Примечание 7

Формулу интегрирования по частям имеет смысл применять при вычислении интегралов следующего вида:

  • Pn(x)ekxdx;Pn(x)sin(kx)dx;Pn(x)cos(kx)dx, где Pn(x) - это многочлен степени n, k=const;
  • Pn(x)lnxdx;Pn(x)arcsin(kx)dx;Pn(x)arccos(kx)dx;
  • ekx+bsin(cx+f)dx;ekx+bcos(cx+f)dx

В первом случае в качестве функции u выбирается многочлен Pn(x), в качестве dv - оставшиеся под знаком интеграла множители. Для интеграла подобного вида формула интегрирования по частям применяется n раз.

Во втором случае в качестве dv выбирается dv=Pn(x)dx, а в качестве функции u - оставшиеся сомножители.

В третьем случае в качестве функции u выбирается либо экспонента, либо тригонометрическая функция. При повторном применении формулы интегрирования по частям в качестве функции u выбирается та же функция (экспонента либо тригонометрическая функция соответственно).

Пример 4

Вычислить следующий интеграл: xsin(2x)dx

Решение:

Полагая u=x,dv=sin2xdx, получим du=dx,v=sin2xdx=12sin2xd(2x)=12cos2x.

По соответствующей формуле получим:

xsin(2x)dx=12xcos2x+12cos2xdx=12xcos2x+14cos2xd(2x)=12xcos2x++14sin2x+C

Следовательно,

xsin(2x)dx=12xcos2x+14sin2x+C.
Пример 5

Вычислить следующий интеграл: xlnxdx

Решение:

Полагая u=lnx,dv=xdx, получим du=dxx,v=xdx=x22.

По соответствующей формуле получим:

xlnxdx=lnxx22x22dxx=lnxx2212xdx=lnxx22x24+C.

Следовательно,

xlnxdx=lnxx22x24+C.
Пример 6

Вычислить следующий интеграл: exsinxdx

Решение:

Полагая u=sinx,dv=exdx, получим du=cosxdx,v=exdx=ex.

Используя формулу, получим:

sinxexdx=sinxexexcosxdx.

Пусть u1=cosx,dv1=exdx, тогда du1=sinxdx,v1=exdx=ex.

По соответствующей формуле получим:

sinxexdx=sinxexexcosxdx=sinxex(cosxex+exsinxdx)=sinxexcosxexexsinxdx.

Выразим исходный интеграл:

sinxexdx=sinxexcosxexexsinxdx;
2sinxexdx=sinxexcosxex;
sinxexdx=12(sinxexcosxex)+C.

Следовательно,

sinxexdx=12(sinxexcosxex)+C.
Дата последнего обновления статьи: 16.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant