Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Определение 2 можно записать следующим образом:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]Интегрирование функции $y=f(x)$ - это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$).
Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования.
Существуют различные методы вычисления неопределенного интеграла, например:
- подстановка (замена переменной);
- интегрирование по частям;
- и т.д.
Замена переменной (подстановка) - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.
Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграл вводится новая переменная интегрирования или делается подстановка. В результате чего исходный интеграл сводится либо к некоторому табличному интегралу, либо к интегралу, который к нему сводится.
После вычисления интеграла по новой переменной $t$ нужно обязательно возвратиться к первоначальной переменной $x$.
Алгоритм метода:
Пусть дан интеграл $\int f(x)dx $.
Сделаем следующую подстановку $x=\phi (t)$, при этом функция $\phi (t)$ дифференцируема.
\[dx=d\left(\phi (t)\right)=\phi '(t)dt.\]Исходный интеграл будет иметь вид:
\[\int f(x)dx =\int f\left(\phi (t)\right)\cdot \phi '(t)dt .\]Полученную формулу называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Иногда целесообразнее делать замену не в виде $x=\phi (t)$, а в виде $t=\psi (x)$.
Проиллюстрировать замечание 2 при нахождении интеграла $\int \frac{\psi '(x)dx}{\psi (x)} $.
Решение:
Сделаем замену $\psi (x)=t$.
Дифференцируя, получим $\psi '(x)dx=dt$.
Вычислим исходный интеграл:
\[\int \frac{\psi '(x)dx}{\psi (x)} =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C=\ln |\psi (x)|+C.\]Вычислить следующий интеграл: $\int \sqrt{\sin x} \cdot \cos xdx $
Решение:
Сделаем подстановку: $t=\sin x$.
Тогда: $dt=\cos xdx$.
Подставим в исходный интеграл:
\[\begin{array}{l} {\int \sqrt{\sin x} \cdot \cos xdx =\int \sqrt{t} dt =\int t^{1/2} dt =\frac{2t^{3/2} }{3} +C=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{t^{3} } +C=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\sin ^{3} x} +C=} \\ {=\frac{2}{3} \cdot \sin x\cdot \sqrt{\sin x} +C} \end{array}\]Интегрирование по частям - это один из способов вычисления неопределенного интеграла.
Суть метода заключается в том, что если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:
\[\int udv =uv-\int vdu .\]Полученную формулу называют формулой интегрирования по частям.
При нахождении функции $v$ путем интегрирования выражения $dv$, константу $C$ можно считать равной нулю.
Рассмотрим функции $u=u(x),\, \, v=v(x)$, имеющие непрерывные производные. По свойствам дифференциалов, справедливо следующее равенство:
\[d(uv)=udv+vdu.\]Проинтегрировав левую часть и правую часть последнего равенства, получим:
\[\int d(uv) =\int udv+vdu \Rightarrow uv=\int udv +\int vdu \]Полученное равенство можно переписать в виде:
\[\int udv =uv-\int vdu \]Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot e^{x} dx $.
Решение:
Полагая $u=x,dv=e^{x} dx$, получим $du=dx,v=\int e^{x} dx =e^{x} $.
По соответствующей формуле получим:
\[\int x\cdot e^{x} dx =x\cdot e^{x} -\int e^{x} dx =x\cdot e^{x} -e^{x} +C\]Следовательно,
\[\int x\cdot e^{x} dx =x\cdot e^{x} -e^{x} +C.\]Иногда для вычисления сложных интегралов формула интегрирования по частям используется несколько раз.
Формулу интегрирования по частям имеет смысл применять при вычислении интегралов следующего вида:
- $\int P_{n} (x)\cdot e^{kx} dx ;\int P_{n} (x)\cdot \sin (kx)dx ;\int P_{n} (x)\cdot \cos (kx)dx $, где $P_{n} (x)$ - это многочлен степени $n$, $k=const$;
- $\int P_{n} (x)\cdot \ln xdx ;\int P_{n} (x)\cdot \arcsin (kx)dx ;\int P_{n} (x)\cdot \arccos (kx)dx $;
- $\int e^{kx+b} \cdot \sin (cx+f)dx ;\int e^{kx+b} \cdot \cos (cx+f)dx $
В первом случае в качестве функции $u$ выбирается многочлен $P_{n} (x)$, в качестве $dv$ - оставшиеся под знаком интеграла множители. Для интеграла подобного вида формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.
Во втором случае в качестве $dv$ выбирается $dv=P_{n} (x)dx$, а в качестве функции $u$ - оставшиеся сомножители.
В третьем случае в качестве функции $u$ выбирается либо экспонента, либо тригонометрическая функция. При повторном применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ выбирается та же функция (экспонента либо тригонометрическая функция соответственно).
Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \sin (2x)dx $
Решение:
Полагая $u=x,dv=\sin 2xdx$, получим $du=dx,v=\int \sin 2xdx =\frac{1}{2} \int \sin 2xd(2x) =-\frac{1}{2} \cos 2x$.
По соответствующей формуле получим:
\[\begin{array}{l} {\int x\cdot \sin (2x)dx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{2} \int \cos 2xdx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{4} \int \cos 2xd(2x) =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+} \\ {+\frac{1}{4} \sin 2x+C} \end{array}\]Следовательно,
\[\int x\cdot \sin (2x)dx =-\frac{1}{2} x\cdot \cos 2x+\frac{1}{4} \sin 2x+C.\]Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \ln xdx $
Решение:
Полагая $u=\ln x,dv=xdx$, получим $du=\frac{dx}{x} ,v=\int xdx =\frac{x^{2} }{2} $.
По соответствующей формуле получим:
\[\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\int \frac{x^{2} }{2} \cdot \frac{dx}{x} =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{1}{2} \int xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{2} }{4} +C.\]Следовательно,
\[\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{2} }{4} +C.\]Вычислить следующий интеграл: $\int e^{x} \cdot \sin xdx $
Решение:
Полагая $u=\sin x,dv=e^{x} dx$, получим $du=\cos xdx,v=\int e^{x} dx =e^{x} $.
Используя формулу, получим:
\[\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \cos xdx .\]Пусть $u_{1} =\cos x,dv_{1} =e^{x} dx$, тогда $du_{1} =-\sin xdx,v_{1} =\int e^{x} dx =e^{x} $.
По соответствующей формуле получим:
\[\begin{array}{l} {\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \cos xdx =\sin x\cdot e^{x} -\left(\cos x\cdot e^{x} +\int e^{x} \cdot \sin xdx \right)=\sin x\cdot e^{x} -} \\ {-\cos x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \sin xdx } \end{array}.\]Выразим исходный интеграл:
\[\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\cos x\cdot e^{x} -\int e^{x} \cdot \sin xdx ;\] \[2\int \sin x\cdot e^{x} dx =\sin x\cdot e^{x} -\cos x\cdot e^{x} ;\] \[\int \sin x\cdot e^{x} dx =\frac{1}{2} \cdot \left(\sin x\cdot e^{x} -\cos x\cdot e^{x} \right)+C.\]Следовательно,
\[\int \sin x\cdot e^{x} dx =\frac{1}{2} \cdot \left(\sin x\cdot e^{x} -\cos x\cdot e^{x} \right)+C.\]
