Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Компланарные векторы

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Понятие компланарности векторов

Для начала рассмотрим, какие вектора называются компланарными.

Определение 1

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Рассмотри, компланарны ли векторы a, b и c на следующем примере. Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Тогда

  1. Пары векторов $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, $\overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ и $\overrightarrow{a_1}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны между собой.

  2. Если два из этих векторов, к примеру $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, коллинеарны, то векторы $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны.

  3. Если $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ лежат в одной плоскости, то они компланарны.

Для дальнейшего рассмотрения напомним следующую теорему.

Теорема 1

Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ $ и $\overrightarrow{a_2}$ с единственными коэффициентами разложения, то есть

\[\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}\]

Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов

Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$.

Теорема 2

Если один из трех данных векторов можно разложить по двум другим векторам, то есть

\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]

где $\alpha $ и $\beta $ - действительные числа, то векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными векторами.

Доказательство.

Здесь возможны два случая.

  1. Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ - коллинеарные векторы. Но это условие неприменимо, если одна из координат вектора приравнивается нулю.

    В этом случае компланарность векторов $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ очевидна.

  2. Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными.

    Так как вектор $\overrightarrow{c}$ имеет свое разложение по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$. Значит эти векторы попадают под условие теоремы 1, и, следовательно, векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ лежат в одной плоскости, то есть являются компланарными.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными, а векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными, то вектор $\overrightarrow{c}$ можно единственным образом разложить по векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b},$ то есть

\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]

Доказательство.

Так как векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, то значит в произвольной плоскости $\gamma $, которой параллельны эти векторы, можно построить векторы $\overrightarrow{a'}=\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b'}=\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c'}=\overrightarrow{c}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то и векторы $\overrightarrow{a'}$ и $\overrightarrow{b'}$ не коллинеарны, тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{c'}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{a'}$ и $\overrightarrow{b'}$ следующим образом

\[\overrightarrow{c'}=\alpha \overrightarrow{a'}+\beta \ \overrightarrow{b'}\]

Причем это разложение единственно.

Следовательно

\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]

Которое также единственно.

Теорема доказана.

Признак и критерий компланарности векторов

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ и $\overrightarrow{c}=(c_1,c_2,c_3)$. Три вектора будут компланарны, если выполняется следующее условие:

Условие компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Условие компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример задачи

Пример 1

Пусть нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Разложите вектор $\overrightarrow{A_1C_1}$ по векторам $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$.

Разложение по векторам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Разложение по векторам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Так как плоскости $(ABC)$ и ${(A}_1B_1C_1)$ параллельны, и векторы $\overrightarrow{A_1C_1}$, $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$ параллельны, следовательно, по определению являются компланарными. Тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{A_1C_1}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$ единственным образом.

Используя свойства сложения двух векторов, получим

\[\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}\]

Так как

\[\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}\]

Следовательно

\[\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\]

Ответ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Пример 2

Пусть нам дан параллелепипед. Найти тройки компланарных векторов, изображенных в параллелепипеде на рисунке ниже.

Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

  1. Так как векторы $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат в плоскости $(BOA)$ то эти векторы являются компланарными.

  2. Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{{BB}_1}$ лежат в плоскости $(BOC)$ то эти векторы являются компланарными.

  3. Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат в плоскости $(COE)$ то эти векторы являются компланарными.

Пример 3

Доказать, что векторы с координатами $\left(1,\ 13,\ 2\right),\ \left(3,\ -5,\ 2\right)и\ (5,-1,4)$ компланарны.

Решение.

Применим признак компланарности трех векторов.

Найдем определитель

Нахождение определителя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Нахождение определителя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Следовательно, это векторы компланарны, ч. т. д.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис