Первообразная и неопределенный интеграл

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

В теории дифференцирования рассматривается задача нахождения производной функции, т.е. функции для которой $f(x)=F'(x)$ .

В теории интегрирования рассматривается обратная задача, т.е. нахождение функции $F(x)$ для которой $F'(x)=f(x)$ .

Определение 1

Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ - это функция, которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:

$F'(x)=f(x).$

Примечание 1

Равенство из определения 1 можно записать с помощью дифференциалов следующим образом:

$\frac{dF}{dx} =f(x)$ или $dF=f(x)dx$ .

Для нахождения первообразной некоторой функции можно пользоваться таблицей производных.

Пример 1

Вычислить первообразную $F(x)$ заданных функций:

1) $f(x)=x^{2}$ ; 2) $f(x)=\cos x$ .

Решение:

1) Первообразной функции $f(x)=x^{2}$ является функция $F(x)=\frac{x^{3} }{3}$ , так как

$F'(x)=\left(\frac{x^{3} }{3} \right)'=\frac{3x^{2} }{3} =x^{2} =f(x).$

2) Первообразной функции $f(x)=\cos x$ является функция $F(x)=\sin x$ , так как

$F'(x)=\left(\sin x\right)'=\cos x=f(x).$

Примечание 2

Первообразная $F(x)$ функции $f(x)$ имеет конечную производную, что означает, что первообразная $F(x)$ является функцией непрерывной.

Теорема 1

Если функция $F(x)$ - это первообразная для функции $y=f(x)$ на некотором отрезке $[a;b]$ , то и функция вида $\Phi (x)=F(x)+C$ также является первообразной для исходной функции, при этом $C=const$ .

«Первообразная и неопределенный интеграл» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Примечание 3

Теорема 1 показывает, что множество полученных первообразных функций для заданной функции является бесконечным.

Пример 2

Определить множество первообразных $F(x)$ для заданных функций:

1) $f(x)=\frac{1}{x}$ ; 2) $f(x)=\sin x$ .

Решение:

1) Первообразными функции $f(x)=\frac{1}{x}$ является множество функций $F(x)=\ln |x|+C$ , так как

$F'(x)=\left(\ln |x|+C\right)'=\frac{1}{x} =f(x).$

2) Первообразными функции $f(x)=\sin x$ является множество функций $F(x)=-\cos x+C$ , так как

$F'(x)=\left(-\cos x+C\right)'=\sin x=f(x).$

Теорема 2

Если $F_{1} (x)$ и $F_{2} (x)$ - две первообразные от одной заданной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ , то разность между ними равна некоторому постоянному числу, т.е.

$F_{1} (x)-F_{2} (x)=C=const.$

Примечание 4

Теорему 2 можно перефразировать следующим образом: каждая функция, являющаяся первообразной для заданной функции $f(x)$ , может быть записана в виде $F(x)+C$ .

Пример 3

Вычислить несколько первообразных $F(x)$ для заданной функции: $f(x)=x$ .

Решение:

Первообразными функции $f(x)=x$ является множество функций $F(x)=\frac{x^{2} }{2} +C$ , так как

$F'(x)=\left(\frac{x^{2} }{2} +C\right)'=\frac{2x}{2} =x=f(x).$

Выпишем две первообразные:

1) $F(x)=\frac{x^{2} }{2} +2$ ; 2) $F(x)=\frac{x^{2} }{2} +10$ .

Теорема 3

Каждая функция $y=f(x)$ , непрерывная на отрезке $[a;b]$ , имеет на данном отрезке первообразную $F(x)$ .

Определение 2

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$ , определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$ . Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx$ .

Примечание 5

Определение 2 можно записать следующим образом:

$\int f(x)dx =F(x)+C.$

Обозначения:

$\int$ - знак интеграла;
$f (x)$ - подынтегральная функция;
$f(x)dx$ - подынтегральное выражение;
$x$ - переменная интегрирования.

Определение 3

Интегрирование функции $y=f(x)$ -- это операция нахождения первообразной заданной функции $y=f(x)$ или неопределенного интеграла от заданной функции $y=f(x)$ .

Примечание 6

Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования.

Геометрический смысл: неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых $F(x)+C$ , где каждому конкретному числовому значению постоянной $C$ соответствует определенная кривая из указанного семейства (рис.1).

Рис. 1