Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Перпендикулярность прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве

Прямая в просторные может пересекать плоскость, может быть параллельной ей, а также может принадлежать плоскости. Но, независимо от них взаимного положения, можно говорить об углу между ними.

Пусть плоскость P задана общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, а прямую L задано параметрическими уравнениями x=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt.

Углом между прямой L и плоскостью P будем называть любой угол из двух сопредельных острого и тупого углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Если величина какого-то одного из них φ, то величина второго πφ.

Вместо угла φ между прямой L и плоскостью P рассмотрим угол θ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, то есть угол между векторами ¯R=m¯i+n¯j+p¯k и ¯N=A¯i+B¯j+C¯k. Этот угол тоже может быть одним из двух сопредельных острого и тупого углов: θ или πθ. Между углами φ и θ существует связь, а именно: если угол θ острый, то φ=π2θ (острый) или φ=π2+θ (тупой); если угол θ тупой, то φ=θπ2 (острый) или φ=3π2θ (тупой).

Косинус угла θ можно найти за формулой cosθ=Am+Bn+CpA2+B2+C2m2+n2+p2 (см. лекцию 10.1). После этого нужно вычислить угол $0

Важный случай имеем, когда cosθ=0. Это означает, что прямая параллельная плоскости. Итак, условие параллельности прямой и плоскости имеет вид Am+Bn+Cp=0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием коллинеарности нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, то есть Am=Bn=Cp.

Для того, чтобы найти координаты точки сечения плоскости P и прямой L, подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:

Отсюда получаем формулу: t=Ax0+By0+Cz0+DAm+Bn+Cp.

При вычислении t возможные три случая:

  1. Знаменатель не равняется нулю Am+Bn+Cp0. Тогда параметр t имеет единое значение, которое нужно подставить в параметрические уравнения прямой L. При этом будет получено координаты нужной точки сечения.
  2. Знаменатель равняется нулю Am+Bn+Cp=0, но числитель нулю не равняется Ax0+By0+Cz0+D0. Тогда решение поставленной задачи отсутствующий, поскольку прямая L плоскость P не пересекает. Это бывает тогда, когда прямая параллельная плоскости.
  3. Знаменатель равняется нулю Am+Bn+Cp=0, и числитель также равняется нулю Ax0+By0+Cz0+D=0. Тогда поставленная задача имеет множество решений. Это бывает тогда, когда прямая L принадлежит плоскости P.
«Перпендикулярность прямой и плоскости» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Отметим, что принадлежности прямой плоскости можно рассматривать, как частный случай параллельности прямой и плоскости.

Задача 1

В пространстве задана точка P(x0,y0,z0). Точка O -- начало координат. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Pперпендикулярно вектору ¯OP=x0¯i+y0¯j+z0¯k.

Поскольку вектор ¯OP перпендикулярен плоскости, которая проходит через точку P, то, очевидно, что указанные точка и вектор эту плоскость определяют однозначно.

Чтобы найти уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку M(x,y,z) и найдем связь ее координат с координатами точки P. Рассмотрим вектор ¯PM=(xx0)¯i+(yy0)¯j+(zz0)¯k. Независимо от положения точки M на плоскости, векторы ¯OP и ¯PM взаимно перпендикулярны.

Отсюда следует, что скалярное произведение этих векторов равняется нулю ¯OP¯PM=0. Подставим в это уравнение координаты векторов:

¯OP¯PM=(x0¯i+y0¯j+z0¯k)((xx0)¯i+(yy0)¯j+(zz0)¯k)=
=x0(xx0)+y0(yy0)+z0(zz0)=x0x+y0y+z0zx20y20z20=0.

Отсюда получаем общее уравнение искомой плоскости Ax+By+Cz+D=0, где A=x0, B=y0, C=z0, D=x20y20z20.

Задача 2

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку M(3;1;2).

Плоскость, которая перпендикулярна оси Ox, параллельна координатной плоскости yOz. Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0, в котором B=0 и C=0, то есть Ax+D=0.

Уравнению этой плоскости должны удовлетворять координаты точки M(3;1;2). Получаем: A3+D=0, то есть D=A3.

Уравнение искомой плоскости Ax+D=0 приобретает вид AxA3=0, то есть A(x3)=0.

Таким образом, уравнение искомой плоскости x3=0.

Задача 3

Через две заданные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) провести плоскость перпендикулярно к данной плоскости ax+by+cz+d=0.

Известно, что некоторая плоскость Ax+By+Cz+D=0, которая проходит через две заданные точки, удовлетворяет двум уравнениям A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0 и A(x2x1)+B(y2y1)+C(z2z1)=0. Условие перпендикулярности обеих плоскостей имеет вид: aA+bB+cC=0. Полученная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными A, B и C имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель основной матрицы системы равняется нулю: |xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1abc|=0. Данное уравнение является уравнением нужной плоскости.

Задача 4

Найти проекцию заданной точки M0(x0,y0,z0) на заданную плоскость Ax+By+Cz+D=0.

Пусть точка M0 проецируется на плоскость в точку P(x,y,z). Построим вектор ¯M0P=(xx0)¯i+(yy0)¯j+(zz0)¯k. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости ¯N=A¯i+B¯j+C¯k. Применяем условие коллинеарности векторов: xx0A=yy0B=zz0C. Эти два уравнения вместе с уравнением плоскости Ax+By+Cz+D=0 образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z. Решив ее, найдем координаты точки P.

Задача 5

Через точки C(2;6;1,75) и D(2;3;6) провести плоскость перпендикулярно плоскости, общее уравнение которой 21x+28y+24z168=0.

Уравнение нужной плоскости имеет вид |xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1abc|=0.

Этот определитель вычисляем посредством разворачивания по элементам первой строки:

|x2y6z(1,75)22(3)66(1,75)212824|=|x2y6z+1,75097,75212824|=
=433x+162,75y+189z+220,25=0.

Итак, уравнение перпендикулярной плоскости:

433x+162,75y+189z+220,25=0.
Дата последнего обновления статьи: 21.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Перпендикулярность прямой и плоскости"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant