Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве
Прямая в просторные может пересекать плоскость, может быть параллельной ей, а также может принадлежать плоскости. Но, независимо от них взаимного положения, можно говорить об углу между ними.
Пусть плоскость $P$ задана общим уравнением $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, а прямую $L$ задано параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$.
Углом между прямой $L$ и плоскостью $P$ будем называть любой угол из двух сопредельных острого и тупого углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Если величина какого-то одного из них $\varphi $, то величина второго $\pi -\varphi $.
Вместо угла $\varphi $ между прямой $L$ и плоскостью $P$ рассмотрим угол $\theta $ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, то есть угол между векторами $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$ и $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$. Этот угол тоже может быть одним из двух сопредельных острого и тупого углов: $\theta $ или $\pi -\theta $. Между углами $\varphi $ и $\theta $ существует связь, а именно: если угол $\theta $ острый, то $\varphi =\frac{\pi }{2} -\theta $ (острый) или $\varphi =\frac{\pi }{2} +\theta $ (тупой); если угол $\theta $ тупой, то $\varphi =\theta -\frac{\pi }{2} $ (острый) или $\varphi =\frac{3\cdot \pi }{2} -\theta $ (тупой).
Косинус угла $\theta $ можно найти за формулой $\cos \theta =\frac{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } \cdot \sqrt{m^{2} +n^{2} +p^{2} } } $ (см. лекцию 10.1). После этого нужно вычислить угол $0
Важный случай имеем, когда $\cos \theta =0$. Это означает, что прямая параллельная плоскости. Итак, условие параллельности прямой и плоскости имеет вид $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$. Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием коллинеарности нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, то есть $\frac{A}{m} =\frac{B}{n} =\frac{C}{p} $.
Для того, чтобы найти координаты точки сечения плоскости $P$ и прямой $L$, подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:
Отсюда получаем формулу: $t=-\frac{A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D}{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p} $.
При вычислении $t$ возможные три случая:
- Знаменатель не равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p\ne 0$. Тогда параметр $t$ имеет единое значение, которое нужно подставить в параметрические уравнения прямой $L$. При этом будет получено координаты нужной точки сечения.
- Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, но числитель нулю не равняется $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D\ne 0$. Тогда решение поставленной задачи отсутствующий, поскольку прямая $L$ плоскость $P$ не пересекает. Это бывает тогда, когда прямая параллельная плоскости.
- Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, и числитель также равняется нулю $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D=0$. Тогда поставленная задача имеет множество решений. Это бывает тогда, когда прямая $L$ принадлежит плоскости $P$.
Отметим, что принадлежности прямой плоскости можно рассматривать, как частный случай параллельности прямой и плоскости.
В пространстве задана точка $P\left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$. Точка $O$ -- начало координат. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку $P$перпендикулярно вектору $\overline{OP}=x_{0} \cdot \overline{i}+y_{0} \cdot \overline{j}+z_{0} \cdot \overline{k}$.
Поскольку вектор $\overline{OP}$ перпендикулярен плоскости, которая проходит через точку $P$, то, очевидно, что указанные точка и вектор эту плоскость определяют однозначно.
Чтобы найти уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку $M\left(x,y,z\right)$ и найдем связь ее координат с координатами точки $P$. Рассмотрим вектор $\overline{PM}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Независимо от положения точки $M$ на плоскости, векторы $\overline{OP}$ и $\overline{PM}$ взаимно перпендикулярны.
Отсюда следует, что скалярное произведение этих векторов равняется нулю $\overline{OP}\cdot \overline{PM}=0$. Подставим в это уравнение координаты векторов:
\[\overline{OP}\cdot \overline{PM}=\left(x_{0} \cdot \overline{i}+y_{0} \cdot \overline{j}+z_{0} \cdot \overline{k}\right)\cdot \left(\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}\right)=\] \[=x_{0} \cdot \left(x-x_{0} \right)+y_{0} \cdot \left(y-y_{0} \right)+z_{0} \cdot \left(z-z_{0} \right)=x_{0} \cdot x+y_{0} \cdot y+z_{0} \cdot z-x_{0}^{2} -y_{0}^{2} -z_{0}^{2} =0.\]Отсюда получаем общее уравнение искомой плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, где $A=x_{0} $, $B=y_{0} $, $C=z_{0} $, $D=-x_{0}^{2} -y_{0}^{2} -z_{0}^{2} $.
Найти уравнение плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку $M\left(3;\; 1;\; 2\right)$.
Плоскость, которая перпендикулярна оси $Ox$, параллельна координатной плоскости $yOz$. Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, в котором $B=0$ и $C=0$, то есть $A\cdot x+D=0$.
Уравнению этой плоскости должны удовлетворять координаты точки $M\left(3;\; 1;\; 2\right)$. Получаем: $A\cdot 3+D=0$, то есть $D=-A\cdot 3$.
Уравнение искомой плоскости $A\cdot x+D=0$ приобретает вид $A\cdot x-A\cdot 3=0$, то есть $A\cdot \left(x-3\right)=0$.
Таким образом, уравнение искомой плоскости $x-3=0$.
Через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$ провести плоскость перпендикулярно к данной плоскости $a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$.
Известно, что некоторая плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, которая проходит через две заданные точки, удовлетворяет двум уравнениям $A\cdot \left(x-x_{1} \right)+B\cdot \left(y-y_{1} \right)+C\cdot \left(z-z_{1} \right)=0$ и $A\cdot \left(x_{2} -x_{1} \right)+B\cdot \left(y_{2} -y_{1} \right)+C\cdot \left(z_{2} -z_{1} \right)=0$. Условие перпендикулярности обеих плоскостей имеет вид: $a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0$. Полученная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными $A$, $B$ и $C$ имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель основной матрицы системы равняется нулю: $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {a} & {b} & {c} \end{array}\right|=0$. Данное уравнение является уравнением нужной плоскости.
Найти проекцию заданной точки $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ на заданную плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$.
Пусть точка $M_{0} $ проецируется на плоскость в точку $P\left(x,y,z\right)$. Построим вектор $\overline{M_{0} P}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$. Применяем условие коллинеарности векторов: $\frac{x-x_{0} }{A} =\frac{y-y_{0} }{B} =\frac{z-z_{0} }{C} $. Эти два уравнения вместе с уравнением плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными $x$, $y$ и $z$. Решив ее, найдем координаты точки $P$.
Через точки $C\left(2;6;-1,75\right)$ и $D\left(2;-3;6\right)$ провести плоскость перпендикулярно плоскости, общее уравнение которой $21\cdot x+28\cdot y+24\cdot z-168=0$.
Уравнение нужной плоскости имеет вид $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {a} & {b} & {c} \end{array}\right|=0$.
Этот определитель вычисляем посредством разворачивания по элементам первой строки:
\[\left|\begin{array}{ccc} {x-2} & {y-6} & {z-\left(-1,75\right)} \\ {2-2} & {\left(-3\right)-6} & {6-\left(-1,75\right)} \\ {21} & {28} & {24} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} {x-2} & {y-6} & {z+1,75} \\ {0} & {-9} & {7,75} \\ {21} & {28} & {24} \end{array}\right|=\] \[=-433\cdot x+162,75\cdot y+189\cdot z+220,25=0.\]Итак, уравнение перпендикулярной плоскости:
\[-433\cdot x+162,75\cdot y+189\cdot z+220,25=0.\]
