Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве
Прямая в просторные может пересекать плоскость, может быть параллельной ей, а также может принадлежать плоскости. Но, независимо от них взаимного положения, можно говорить об углу между ними.
Пусть плоскость P задана общим уравнением A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0, а прямую L задано параметрическими уравнениями x=x0+m⋅t, y=y0+n⋅t, z=z0+p⋅t.
Углом между прямой L и плоскостью P будем называть любой угол из двух сопредельных острого и тупого углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Если величина какого-то одного из них φ, то величина второго π−φ.
Вместо угла φ между прямой L и плоскостью P рассмотрим угол θ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, то есть угол между векторами ¯R=m⋅¯i+n⋅¯j+p⋅¯k и ¯N=A⋅¯i+B⋅¯j+C⋅¯k. Этот угол тоже может быть одним из двух сопредельных острого и тупого углов: θ или π−θ. Между углами φ и θ существует связь, а именно: если угол θ острый, то φ=π2−θ (острый) или φ=π2+θ (тупой); если угол θ тупой, то φ=θ−π2 (острый) или φ=3⋅π2−θ (тупой).
Косинус угла θ можно найти за формулой cosθ=A⋅m+B⋅n+C⋅p√A2+B2+C2⋅√m2+n2+p2 (см. лекцию 10.1). После этого нужно вычислить угол $0
Важный случай имеем, когда cosθ=0. Это означает, что прямая параллельная плоскости. Итак, условие параллельности прямой и плоскости имеет вид A⋅m+B⋅n+C⋅p=0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием коллинеарности нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, то есть Am=Bn=Cp.
Для того, чтобы найти координаты точки сечения плоскости P и прямой L, подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:
Отсюда получаем формулу: t=−A⋅x0+B⋅y0+C⋅z0+DA⋅m+B⋅n+C⋅p.
При вычислении t возможные три случая:
- Знаменатель не равняется нулю A⋅m+B⋅n+C⋅p≠0. Тогда параметр t имеет единое значение, которое нужно подставить в параметрические уравнения прямой L. При этом будет получено координаты нужной точки сечения.
- Знаменатель равняется нулю A⋅m+B⋅n+C⋅p=0, но числитель нулю не равняется A⋅x0+B⋅y0+C⋅z0+D≠0. Тогда решение поставленной задачи отсутствующий, поскольку прямая L плоскость P не пересекает. Это бывает тогда, когда прямая параллельная плоскости.
- Знаменатель равняется нулю A⋅m+B⋅n+C⋅p=0, и числитель также равняется нулю A⋅x0+B⋅y0+C⋅z0+D=0. Тогда поставленная задача имеет множество решений. Это бывает тогда, когда прямая L принадлежит плоскости P.
Отметим, что принадлежности прямой плоскости можно рассматривать, как частный случай параллельности прямой и плоскости.
В пространстве задана точка P(x0,y0,z0). Точка O -- начало координат. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Pперпендикулярно вектору ¯OP=x0⋅¯i+y0⋅¯j+z0⋅¯k.
Поскольку вектор ¯OP перпендикулярен плоскости, которая проходит через точку P, то, очевидно, что указанные точка и вектор эту плоскость определяют однозначно.
Чтобы найти уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку M(x,y,z) и найдем связь ее координат с координатами точки P. Рассмотрим вектор ¯PM=(x−x0)⋅¯i+(y−y0)⋅¯j+(z−z0)⋅¯k. Независимо от положения точки M на плоскости, векторы ¯OP и ¯PM взаимно перпендикулярны.
Отсюда следует, что скалярное произведение этих векторов равняется нулю ¯OP⋅¯PM=0. Подставим в это уравнение координаты векторов:
¯OP⋅¯PM=(x0⋅¯i+y0⋅¯j+z0⋅¯k)⋅((x−x0)⋅¯i+(y−y0)⋅¯j+(z−z0)⋅¯k)=Отсюда получаем общее уравнение искомой плоскости A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0, где A=x0, B=y0, C=z0, D=−x20−y20−z20.
Найти уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку M(3;1;2).
Плоскость, которая перпендикулярна оси Ox, параллельна координатной плоскости yOz. Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0, в котором B=0 и C=0, то есть A⋅x+D=0.
Уравнению этой плоскости должны удовлетворять координаты точки M(3;1;2). Получаем: A⋅3+D=0, то есть D=−A⋅3.
Уравнение искомой плоскости A⋅x+D=0 приобретает вид A⋅x−A⋅3=0, то есть A⋅(x−3)=0.
Таким образом, уравнение искомой плоскости x−3=0.
Через две заданные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) провести плоскость перпендикулярно к данной плоскости a⋅x+b⋅y+c⋅z+d=0.
Известно, что некоторая плоскость A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0, которая проходит через две заданные точки, удовлетворяет двум уравнениям A⋅(x−x1)+B⋅(y−y1)+C⋅(z−z1)=0 и A⋅(x2−x1)+B⋅(y2−y1)+C⋅(z2−z1)=0. Условие перпендикулярности обеих плоскостей имеет вид: a⋅A+b⋅B+c⋅C=0. Полученная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными A, B и C имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель основной матрицы системы равняется нулю: |x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1abc|=0. Данное уравнение является уравнением нужной плоскости.
Найти проекцию заданной точки M0(x0,y0,z0) на заданную плоскость A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0.
Пусть точка M0 проецируется на плоскость в точку P(x,y,z). Построим вектор ¯M0P=(x−x0)⋅¯i+(y−y0)⋅¯j+(z−z0)⋅¯k. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости ¯N=A⋅¯i+B⋅¯j+C⋅¯k. Применяем условие коллинеарности векторов: x−x0A=y−y0B=z−z0C. Эти два уравнения вместе с уравнением плоскости A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0 образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z. Решив ее, найдем координаты точки P.
Через точки C(2;6;−1,75) и D(2;−3;6) провести плоскость перпендикулярно плоскости, общее уравнение которой 21⋅x+28⋅y+24⋅z−168=0.
Уравнение нужной плоскости имеет вид |x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1abc|=0.
Этот определитель вычисляем посредством разворачивания по элементам первой строки:
|x−2y−6z−(−1,75)2−2(−3)−66−(−1,75)212824|=|x−2y−6z+1,750−97,75212824|=Итак, уравнение перпендикулярной плоскости:
−433⋅x+162,75⋅y+189⋅z+220,25=0.