Определение 1
Кубическая парабола – это парабола, задаваемая уравнением вида $y=ax^3$, где $a ≠ 0$. Также в литературе можно встретить и другие формулы для кубической параболы, все они эквивалентны.
Рисунок 1. График кубической параболы
Свойства функции кубической параболы
- График кубической параболы определён на всём пространстве действительных чисел.
- Функция, задаваемая графиком кубической параболы, является нечётной, то есть: $f(-x) =(-x)^3= - x^3 = f(x)$.
- Из этого следует, что обратная функция кубической параболы, заданная уравнением $y = -x^3$ будет располагаться II и IV четвертях графика, тогда как для $y = x^3$ график располагается в I и III четвертях.
- График кубической параболы центрально-симметричен относительно начала координат или точки перегиба, если он сдвинут относительно начала координат. То есть форма кривой справа до точки перегиба полностью идентична форме кривой слева. График кубической параболы хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс.
- График кубической параболы возрастает на всей области определения.
Анализ графика функции кубической параболы
- Найдя производную $f'(x)$ кубической функции первого порядка и приравняв полученное выражение к нулю, вы получите критические точки для кубической параболы, называемые также локальными минимумами и максимумами.
- Вторая производная $f''(x)$ параболы определяет точку перегиба функции.
- Области значения и определения кубической параболы - все действительные числа.
Пример 1
Найдите точку перегиба для кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$.
- Сначала найдём первую производную функции, она равна: $y' = 6x^2 + 12x – 1$.
- Теперь найдём вторую производную, $y'' = 12x + 12$. Чтобы найти значение по оси абсцисс точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: $12x + 12 = 0$, $x = -1$.
- Найдём значение по оси ординат, для этого в исходную функцию подставим значение найденного $x$: $y = -2 + 6 + 1 +2 = 7$. Точка перегиба кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$ находится по координатам $(-1; 7)$.
Дата последнего обновления статьи: 09.12.2023
