Основное свойство дроби
Все обыкновенные дроби обладают основным свойством дроби:
Если числитель и знаменатель дроби будет умножен или разделен на одно и то же натуральное число, то в результате получим дробь, равную исходной:
a⋅nb⋅n=ab
и
a÷nb÷n=ab
Пусть дан квадрат, разбитый на 4 равных части. Если закрасить 2 из 4 частей, получим закрашенные 24 всего квадрата. Если посмотреть на данный квадрат, то очевидно, что закрашена ровно его половина, т.е. 12. Таким образом, получаем 24=12. Разложим числа 2 и 4 на множители:
2=1⋅2,
4=2⋅2.
Подставим эти разложения в равенство:
12=24,
12=1⋅22⋅2,
12=2÷24÷2.
Можно ли получить равную дробь, если и числитель, и знаменатель заданной дроби умножить на 18, а затем разделить на 3?
Решение.
Пусть дана некоторая обыкновенная дробь ab. По условию числитель и знаменатель этой дроби умножили на 18, получили:
a⋅18b⋅18
Согласно основному свойству дроби:
a⋅18b⋅18=ab
Далее по условию числитель и знаменатель разделили на 3:
a÷3b÷3
Согласно основному свойству дроби:
a÷3b÷3=ab
Таким образом, получили в результате дробь, равную исходной.
Ответ: Можно получить дробь, равную исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство дроби чаще всего применяют для:
- приведения дробей к новому знаменателю:
- сокращения дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – замена заданной дроби такой дробью, которая будет ей равна, но иметь больше числитель и больше знаменатель. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же натуральное число, в результате чего по основному свойству дроби получают дробь, равную исходной, но с большими числителем и знаменателем.
Сокращение дроби – замена заданной дроби такой дробью, которая будет ей равна, но иметь меньший числитель и меньший знаменатель. Для этого числитель и знаменатель дроби делят на положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от нуля, в результате чего по основному свойству дроби получают дробь, равную исходной, но с меньшими числителем и знаменателем.
Если разделить (сократить) числитель и знаменатель на их НОД, то в результате получают несократимый вид исходной дроби.
Сокращение дробей
Как известно, обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые.
Для сокращения дроби нужно выполнить деление и числителя, и знаменателя дроби на их положительный общий делитель, не равный нулю. При сокращении дроби получают новую дробь с меньшим числителем и знаменателем, по основному свойству дроби равную исходной.
Сократить дробь 1525.
Решение.
Сократим дробь на 5 (разделим ее числитель и знаменатель на 5):
1525=15÷525÷5=35
Ответ: 1525=35.
Получение несократимой дроби
Чаще всего дробь сокращают для получения несократимой дроби, равной исходной сократимой дроби. Такого результата можно достичь, если разделить и числитель, и знаменатель исходной дроби на их НОД.
a÷НОД(a,b)b÷НОД(a,b) – несократимая дробь, т.к. согласно свойствам НОД числитель и знаменатель данной дроби – взаимно простые числа.
НОД(a,b) – наибольшее число, на которое можно разделить и числитель, и знаменатель дроби ab. Таким образом, для приведения дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Правило сокращения дроби: 1. Найти НОД двух чисел, которые стоят в числителе и знаменателе дроби. 2. Выполнить деление числителя и знаменателя дроби на найденный НОД.
Привести дробь 6/36 к несократимому виду.
Решение.
Сократим данную дробь на НОД(6,36)=6, т.к. 36÷6=6. Получим:
636=6÷636÷6=16
Ответ: 636=16.
Практически фраза «сократить дробь» подразумевает, что нужно привести дробь к несократимому виду.