Основное свойство дроби
Все обыкновенные дроби обладают основным свойством дроби:
Если числитель и знаменатель дроби будет умножен или разделен на одно и то же натуральное число, то в результате получим дробь, равную исходной:
$\frac{a\cdot n}{b\cdot n}=\frac{a}{b}$
и
$\frac{a\div n}{b\div n}=\frac{a}{b}$
Пусть дан квадрат, разбитый на $4$ равных части. Если закрасить $2$ из $4$ частей, получим закрашенные $\frac{2}{4}$ всего квадрата. Если посмотреть на данный квадрат, то очевидно, что закрашена ровно его половина, т.е. ${1}{2}$. Таким образом, получаем $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Разложим числа $2$ и $4$ на множители:
$2=1\cdot 2$,
$4=2\cdot 2$.
Подставим эти разложения в равенство:
$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$,
$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}$,
$\frac{1}{2}=\frac{2\div 2}{4\div 2}$.
Можно ли получить равную дробь, если и числитель, и знаменатель заданной дроби умножить на $18$, а затем разделить на $3$?
Решение.
Пусть дана некоторая обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$. По условию числитель и знаменатель этой дроби умножили на $18$, получили:
$\frac{a\cdot 18}{b\cdot 18}$
Согласно основному свойству дроби:
$\frac{a\cdot 18}{b\cdot 18}=\frac{a}{b}$
Далее по условию числитель и знаменатель разделили на $3$:
$\frac{a\div 3}{b\div 3}$
Согласно основному свойству дроби:
$\frac{a\div 3}{b\div 3}=\frac{a}{b}$
Таким образом, получили в результате дробь, равную исходной.
Ответ: Можно получить дробь, равную исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство дроби чаще всего применяют для:
- приведения дробей к новому знаменателю:
- сокращения дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – замена заданной дроби такой дробью, которая будет ей равна, но иметь больше числитель и больше знаменатель. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же натуральное число, в результате чего по основному свойству дроби получают дробь, равную исходной, но с большими числителем и знаменателем.
Сокращение дроби – замена заданной дроби такой дробью, которая будет ей равна, но иметь меньший числитель и меньший знаменатель. Для этого числитель и знаменатель дроби делят на положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от нуля, в результате чего по основному свойству дроби получают дробь, равную исходной, но с меньшими числителем и знаменателем.
Если разделить (сократить) числитель и знаменатель на их НОД, то в результате получают несократимый вид исходной дроби.
Сокращение дробей
Как известно, обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые.
Для сокращения дроби нужно выполнить деление и числителя, и знаменателя дроби на их положительный общий делитель, не равный нулю. При сокращении дроби получают новую дробь с меньшим числителем и знаменателем, по основному свойству дроби равную исходной.
Сократить дробь $\frac{15}{25}$.
Решение.
Сократим дробь на $5$ (разделим ее числитель и знаменатель на $5$):
$\frac{15}{25}=\frac{15\div 5}{25\div 5}=\frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.
Получение несократимой дроби
Чаще всего дробь сокращают для получения несократимой дроби, равной исходной сократимой дроби. Такого результата можно достичь, если разделить и числитель, и знаменатель исходной дроби на их НОД.
$\frac{a\div НОД (a,b)}{b\div НОД (a,b)}$ – несократимая дробь, т.к. согласно свойствам НОД числитель и знаменатель данной дроби – взаимно простые числа.
НОД(a,b) – наибольшее число, на которое можно разделить и числитель, и знаменатель дроби $\frac{a}{b}$. Таким образом, для приведения дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Правило сокращения дроби: 1. Найти НОД двух чисел, которые стоят в числителе и знаменателе дроби. 2. Выполнить деление числителя и знаменателя дроби на найденный НОД.
Привести дробь $6/36$ к несократимому виду.
Решение.
Сократим данную дробь на НОД$(6,36)=6$, т.к. $36\div 6=6$. Получим:
$\frac{6}{36}=\frac{6\div 6}{36\div 6}=\frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Практически фраза «сократить дробь» подразумевает, что нужно привести дробь к несократимому виду.
