Как выносить из под корня число
Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.
Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.
Необходимые операции и определения
Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.
Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.
Для разложения на множители используются следующие приёмы:
- Вынесение за скобки общего множителя;
- Группировка множителей;
- Применение формул сокращённого умножения;
- Комбинация вышеизложенных методов.
Статья: Как вынести число из-под корня
При вынесении за скобки общего множителя для начала нужно определить множитель, который можно вынести, а затем разделить всё выражение на этот множитель и записать результат частного рядом со множителем как произведение, например:
$6x^2 – 8xy +4x = 2x \cdot 3x - 2x \cdot 4y + 2x \cdot 2 = 2x \cdot (3x - 4y + 2)$.
Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:
$(x + y)^2 = x^2 +2xy + y^2$.
Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.
Свойства корня
Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.
Корнем $n$-нной степени из числа $b$ называют число, которое нужно возвести в $n$-нную степень чтобы получить число $b$:
$\sqrt[n]{b}= m$.
Процесс получения корня называется его извлечением.
Левая часть равенства вида $\sqrt[n]{b} = m$ называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.
Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем $n$-нной степени из числа $b$.
При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: $\sqrt[n]{x} = b$, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: $\sqrt[n]{x} = ±b$.
Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:
Для извлечения корня $n$-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: $\sqrt[n]{xyz}=\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\sqrt[n]{z}\left(1\right)$.
Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень $n$ является нечётной.
Для этого используем определение корня. У нас есть следующее равенство: $\sqrt[n]{a} = b$. Из определения корня получается, что $b^n = a$, соответственно, возведя $b$ в степень $n$ мы получим подкоренное значение, здесь это $a$.
Применим эту логику к равенству $(1)$.
Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:
$(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\sqrt[n]{z})^n= (\sqrt[n]{x})^n(\sqrt[n]{y})^n(\sqrt[n]{z})^n=x \cdot y \cdot z$
Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.
Правила вынесения множителя из под знака корня
Вынесение множителя из-под знака корня $n$-ой степени — это упрощение выражения с помощью записи какого-либо множителя, являющегося частью подкоренного выражения, перед знаком корня. Например, $\sqrt[6]{192} = \sqrt[6]{64 \cdot 3} = 2 \sqrt[6]{3}$.
Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:
$\sqrt[n]{x^my} = y^{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[n]{x}$
В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:
$\sqrt{x^my} = y^{\frac{m}{2}} \cdot \sqrt{x}$
В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:
$\sqrt[3]{\frac{64x}{343}}= \frac{\sqrt[3]{64x}}{\sqrt[3]{343}}= \frac{4}{7}\sqrt[3]{x}$
Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:
- Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
- Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.
Вынесите множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
$\sqrt{72x}; \sqrt[7]{128x^{14}y^3}; \sqrt{(a+b)^2 7x^3};\sqrt{\frac{x}{750}}$.
- $\sqrt{72x} = \sqrt{36 \cdot 2x}= \sqrt{36} \sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}$.
- $\sqrt[7]{128x^{14}y^3} = \sqrt[7]{128} \sqrt[7]{x^{14}}\sqrt[7]{y^3}=2x\sqrt[7]{y^3}$.
- $\sqrt{(a+b)^2 7x^3}= \sqrt{(a+b)^2} \sqrt{7}\sqrt{x \cdot x^2} = x (a+b)\sqrt{7x}$.
- $\sqrt{\frac{x}{750}}= \sqrt{\frac{1}{25\cdot 10\cdot3}} \sqrt{x} = \frac{1}{5}\sqrt{30x}$.
