Общие делители
Целое число, которое одновременно является делителем двух или более чисел, называют общим делителем этих чисел.
Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.
Решение.
Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.
Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.
Ответ: у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.
Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.
Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.
Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.
Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.
Определение наибольшего общего делителя (НОД)
Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.
Далее будем рассматривать случаи, когда хотя бы одно из данных чисел не равно нулю.
В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.
Наибольшее целое число, которое одновременно делит 2 целых числа, называется наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.
Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..
Решение.
Найдем делители каждого из чисел:
$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.
$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.
Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1
$НОД (12, –30)=6$.
Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.
НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.
Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.
Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.
Решение.
Найдем все делители каждого из чисел:
$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;
$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;
$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.
Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1
$НОД(–12, 32, 56)=4$.
В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.
Взаимно простые числа
Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые, если $НОД(a, b)=1$.
Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.
Решение.
Согласно таблицы простых чисел $7$ и $13$ являются простыми числами. Это значит, что их делителями являются только числа $–1, 1$, сами числа и противоположные к ним числа. Следовательно, НОД чисел $7$ и $13$ будет число $1$:
$НОД (7, 13) = 1$.
По определению взаимно простых чисел $7$ и $13$ – взаимно простые.
Ответ: $7$ и $13$ – взаимно простые.
Взаимно простыми могут быть не только простые числа.
Определить, будут ли числа $3$ и $20$ взаимно простыми.
Решение.
Найдем все делители числа $3$: числа $1, 3$ и им противоположные.
Найдем все делители числа $20$: числа $1, 2, 4, 5, 10, 20$ и им противоположные.
Как видим, число $1$ является единственным общим делителем чисел $3$ и $20$, следовательно, $НОД (3, 20) = 1$.
Ответ: $3$ и $20$ – взаимно простые.
