Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Простые и составные числа, свойства простых чисел

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Делимость чисел / Простые и составные числа, свойства простых чисел
Простые и составные числа, свойства простых чисел

Простые и составные числа

Определение 1

Натуральное число $p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.

Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.

Пример 1

Найти делители числа $6$.

Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6.$ Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$

Ответ: $1,2,3,6$.

Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.

Пример 2

На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?

Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$.Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка.

Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.

Ответ: на $1,3,5,15$ кучек.

Определение 2

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Определение 3

Взаимно простыми числами называются те, у которых НОД равен $1$.Значит для выяснения будут ли являться числа взаимно простыми необходимо найти их НОД.

Наибольший общий делитель

Определение 4

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители
  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Пример 3

Найти НОД чисел $63$ и $81$.

Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$

  1. Разложим числа на простые множители

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

  2. Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

  3. Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3\cdot 3=9$

Свойство составных и простых чисел

Теорема 1

Любое составное число можно разложить на $2$ множителя, каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.

Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.

Замечание 2

Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.

Свойства простых чисел

  1. Если простое число $p$ делится на простое число $q$, то эти числа равны $(p=q)$. Действительно, если $p$ - простое число, то оно по определению имеет только два делителя, а именно $1$ и $p$. Но т.к. по условию $р\vdots q$, значит $q$ равно либо $1$, либо $p$. Т. к $q≠1$, значит $p=q$.

  2. Если $p$- простое число, то любое натуральное число либо делится на $p$, либо взаимно простое с $p$.

    В самом деле, допустим, что $p$ и $n$- не взаимно простые. И либо опровергнем, либо убедимся в этом. Если указанные числа не взаимно простые, то у них должен быть хотя бы один общий делитель, отличный от $1$, обозначим его $d$. Но по условию $p$- простое число, значит имеет по определению, всего два делителя-$1$ и $p$.Поскольку $d≠1$, то $d=p$, и поэтому $n$ делится на $p$.

  3. Произведение натуральных чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$ в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $p$.

    Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей- если такое произведение делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$.

  4. Любое натуральное число, отличное от $1$, является либо простым, либо произведением простых чисел

  5. Если натуральное число m делится на простое число $p$, то в любом разложении этого числа на простые множители хотябы один из множителей равен $p$.

    Действительно, пусть $m=p_{1\dots \dots .}p_k$-разложение на множители.Так как $m\vdots p$, то по утверждению,данному в п.3 хотя бы один из множителей делится на $p$.Пусть, например $р_1\vdots p$.Тогда по утверждению , данному в п.1 выполняется равенство $р_1=p$

  6. Любые два разложения составного числа отличаются друг от друга только порядком множителей.

Замечание 3

Из простых чисел с помощью умножения можно постоить все натуральные числа.

Свойства простых чисел

  1. Среди простых чисел нет наибольшего

  2. Если $n$-составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель $p$, такой , что $р^2\le n$.

    Второе свойство можно успешно использовать при разложении числа на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа $n$ на простые делители p,для которых будет выполняться $р^2\le n$.

Пример 4

Проверить, является ли число $91$ составным.

Решение: Так как $7^2