Что называется областью определения функции
Математической функции свойственно сопоставление значений множества $X$ значениям множества $Y$.
Областью определения функции (ООФ) принято называть совокупность значений, принимаемых ее независимой переменной. Иными словами, область определения представляет собой множество всех возможных значений ее аргумента: функция с областью определения $X$ есть совокупность соответствий значений $x$ множества $X$ числам другого множества, получающихся преобразованием $x$ по некоторому алгоритму, правилу.
Как обозначается область определения
Функции в математике обозначают строчными латинскими буквами, такими, как $f$, $g$, $h$ и т.д. В формуле $y=f(x)$ знак $f$ выражает алгоритм, согласно которому значениям из ее области определения независимой переменной $x$ будет сопоставлено в соответствие значение зависимой переменной $y$.
Например, заданную формулой $y=x^2$ функцию, можно переписать как $f(x)=x^2$. В данном случае правило нахождения переменной $y$ (зависимой) - это возведение в квадрат. Данная функция каждому значению независимой переменной $x = x_n$ из допустимой области определения поставит в соответствие результат выполнения операции $y = x_{n}^2$. Например, числу $8$ будет соответствовать число $64$, поскольку $8^2=64$.
Область определения функции $f$ обозначается как $D(f)$.
Для тригонометрических и некоторых других часто используемых функций используются собственные способы записи области определения, например $D(cos)$ для означения области определения косинуса и т.д. Синонимичной формой записи является "$D(f)$, где $f$ – функция косинуса".
Когда множество аргументов функции $f$ заранее известно, его обозначают как $D(f) = X$. Например, область определения арксинуса ($\arcsin$) это замкнутый промежуток чисел от −1 до 1: $D(\arcsin) = [−1, 1]$.
Часто используемые в математических вычислениях функций обладают хорошо изученными областями определения:
- для линейной функции $y = kx + b$, а также показательной функции $y = a^x$ это будет $R$ - множество действительных чисел: $D(f) = (−∞, +∞)$ или $D(f) = R$;
- областью определения для логарифмической функции $y = log_{a}x$ является множество положительных действительных чисел, то есть, $D(log_a) = (0, +∞)$, в частности,$D(lg) = (0, +∞)$ для десятичных и $D(ln) = (0, +∞)$ для натуральных логарифмов;
- несколько сложнее дело обстоит с извлечением корня $x = \sqrt[n]{y}$; областями определения здесь могут быть множества, состав которых зависит от показателя $n$; если это четное число, то область определения функции корня есть множество неотрицательных действительных чисел; при нечетном и большем, чем единица показателе областью определения будет множество всех действительных чисел.
Графические представления некоторых элементарных функций:
- $у = 3х + 7$ - прямая;
- $у = \frac{1}{х}$ - гипербола;
- $у = х^2$ - парабола;
- $у = \sqrt{х}$ - ветвь параболы.
Найти область определения функции $у = \frac{6х}{(5 + х)}$.
Поскольку в уравнении присутствует дробь, следует исключить ситуации деления на ноль, т.е. выяснить, при каких значениях $x$ может появиться ноль в знаменателе:
$5 + х \neq 0 \\ х \neq -5$
Ответ:
ООФ этой функции есть объединение множеств $(-∞; -5) \cup (-5; ∞)$, т.е. всё множество действительных чисел, кроме 5.
