Неравенство первой степени с одним неизвестным

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Часто неравенство первой степени также называют линейным неравенством.

Определение 1

Неравенство вида $ax+b$ , $\le$ или $\ge$ ), где $a$ и $b$ – действительные числа и $a \ne 0$ , называют неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Также в школьных учебниках встречается другое определение:

Определение 2

Неравенство вида $ax$ , $\le$ или $\ge$ ), где $x$ – неизвестное, $a$ и $b$ – любые числа, называются неравенством первой степени с одним неизвестным.

В последнем определении ничего не сказано о коэффициенте при неизвестном $x \ne 0$ , т.е. считается, что и неравенство вида $0 \cdot x$ , $\le$ или $\ge$ ) также является неравенством первой степени.

Условимся не отбрасывать вариант, когда $a=0$ , поэтому будем использовать следующее определение:

Определение 3

Неравенство вида $ax+b$ , $\le$ или $\ge$ ), где $a$ и $b$ – действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Пример 1

Неравенства $7x+5,2

Как видим по примерам, неизвестным может быть не только переменная $х$ .

Пример 2

Неравенства $3x

Решение неравенств

Замечание 1

Основной способ решения неравенств $1$ -й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду $x$ , $\le$ или $\ge$ ), где некоторое число $c$ и является искомым решением.

«Неравенство первой степени с одним неизвестным» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Рассмотрим решение неравенств с помощью равносильных преобразований.

Алгоритм решения неравенств $1$ -й степени с одним неизвестным $ax+b$ , $\le$ , $\ge$ ) при $a \ne 0$ :

Число $b$ нужно перенести в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный, что позволит перейти к равносильному неравенству $ax$ , $\le$ , $\ge$ ).
Разделить обе части равносильного неравенства на число $a$ . В таком случае при положительном a знак неравенства сохранится, при отрицательном $a$ знак неравенства меняется на противоположный. В итоге получают неравенство, которое равносильно исходному неравенству первой степени.

Пример 3

Решить неравенство $4x-7 \ge 0$ .

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

Перенесем $–7$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $4x \ge 7$ .
Выполнив деление обеих частей неравенства $4x \ge 7$ на положительное число $4$ (знак неравенства остается прежним), получим $4x:4 \ge 7:4$ , т.е. $x \ge \frac{7}{4}$ .

Ответ часто записывают в виде числового промежутка $[\frac{7}{4}, +\infty)$ .

Краткая запись решения данного неравенства:

$4x-7 \ge 0$ ;

$4x \ge 7$ ;

$x \ge \frac{7}{4}$ .

Ответ: $x \ge \frac{7}{4}$ или $[\frac{7}{4}, +\infty)$ .

Пример 4

Решить неравенство $-3,8y

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

Свободный член неравенства отсутствует в явном виде, а значит равен нулю, поэтому переносить его в правую часть неравенства не нужно.
Выполнив деление обеих частей неравенства $-3,8y$ »), получим $–3,8y:(-3,8) > 0:(-3,8)$ , т.е. $y

Числовой промежуток $(-\infty; 0)$ .

Краткая запись решения данного неравенства:

$-3,8y

Ответ: $y

Пример 5

Решить неравенство $-6z+\frac{3}{8} > 0$ .

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

Перенесем $\frac{3}{8}$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $-6z > -\frac{3}{8}$ .
Выполнив деление обеих частей неравенства $-6z > -\frac{3}{8}$ на отрицательное число $–6$ (знак неравенства останется прежним), получим $(-6z):(-6) > (-\frac{3}{8}):(-6)$ , т.е. $z