Основные определения и формула для нахождения определителя матрицы четвертого порядка
Часто в математических и прикладных задачах возникает необходимость использовать матрицы. Дадим определение матрицы.
Матрица - это прямоугольная таблица скаляров (элементов некоторого поля), состоящая из заданного количества столбцов и заданного количества строк.
Выделяют разные матрицы. Нам пригодятся понятие следующих:
- если матрица имеет единственный элемент, то она является совпадающей со своим единственным скаляром;
- квадратной матрицей называют такую матрицу, у которой количество столбцов совпадает с количеством строк.
Алгебраические операции над матрицами имеют свой алгоритм и порядок, отличающийся от тех же операций над обычными числами. Помимо алгебраических операций, существуют и другие операции над матрицами. Например, операция транспонирования матрицы.
Часто учащиеся сталкиваются с задачами по нахождению определителя матриц разных порядков. Под матрицами первого, второго, третьего, четвёртого и т.д. порядка понимаются квадратные матрицы. Дадим определение определителю.
Определитель или детерминант матрицы - это определённое число, которое можно поставить в соответствие какой-либо квадратной матрице. Если элементы матрицы действительные числа, то и определитель будет действительным числом. Определитель обозначают detA или |A|.
Определитель первого порядка равен скаляру данной матрицы. Определители второго и третьего порядка высчитываются в определённом порядке, то есть по известным формулам.
Для вычисления определителя больше третьего порядка, необходимо понимание минора матрицы.
Минор матрицы третьего порядка - это определитель второго порядка, полученной из заданной матрицы третьего порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Минор обозначают M.
Формула для определителя четвёртого порядка:
|A|=a11M11−a12M12+a13M13−a14M14.
Пример решения
Решим пример.
A=(102−10014−30026−3−10).
|A|=|102−10014−30026−3−10|=1⋅|014002−3−10|−0⋅|014−3026−10|+2⋅|004−3026−30|−(−1)⋅|001−3006−3−1|=1⋅(−3)−0⋅24+2⋅36−(−1)⋅9=78.
В рамках учебной программы принято использовать однотипные примеры с действительными числами. Зная формулу, очевидно, что все примеры будут аналогичны друг другу.
Теорема Лапласа
Существует также метод нахождения определителя четвертого порядка по теореме Лапласа. Тогда понадобится следующее понятие:
Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы третьего порядка - минор элемента aij, умноженный на (−1)i+j.
Определитель четвертого порядка равен сумме всех четырёх произведений следующего вида: каждый из четырёх элементов какой-либо фиксированной строки (столбца) этой матрицы умножается на его алгебраическое дополнение.
Эта теорема распространяется на матрицы любого порядка.
При ручном решении подобных задач главное помнить о внимательности и сосредоточенности, а также уметь проявлять терпение, когда дело касается большой матрицы или матрицы с большими значениями элементов. На практике в современных условиях для решения подобных задач применяют вычислительные машины.
