Основные определения и формула для нахождения определителя матрицы четвертого порядка
Часто в математических и прикладных задачах возникает необходимость использовать матрицы. Дадим определение матрицы.
Матрица - это прямоугольная таблица скаляров (элементов некоторого поля), состоящая из заданного количества столбцов и заданного количества строк.
Выделяют разные матрицы. Нам пригодятся понятие следующих:
- если матрица имеет единственный элемент, то она является совпадающей со своим единственным скаляром;
- квадратной матрицей называют такую матрицу, у которой количество столбцов совпадает с количеством строк.
Алгебраические операции над матрицами имеют свой алгоритм и порядок, отличающийся от тех же операций над обычными числами. Помимо алгебраических операций, существуют и другие операции над матрицами. Например, операция транспонирования матрицы.
Часто учащиеся сталкиваются с задачами по нахождению определителя матриц разных порядков. Под матрицами первого, второго, третьего, четвёртого и т.д. порядка понимаются квадратные матрицы. Дадим определение определителю.
Определитель или детерминант матрицы - это определённое число, которое можно поставить в соответствие какой-либо квадратной матрице. Если элементы матрицы действительные числа, то и определитель будет действительным числом. Определитель обозначают $\det A$ или $|A|$.
Определитель первого порядка равен скаляру данной матрицы. Определители второго и третьего порядка высчитываются в определённом порядке, то есть по известным формулам.
Для вычисления определителя больше третьего порядка, необходимо понимание минора матрицы.
Минор матрицы третьего порядка - это определитель второго порядка, полученной из заданной матрицы третьего порядка вычеркиванием $i$-ой строки и $j$-го столбца. Минор обозначают $M$.
Формула для определителя четвёртого порядка:
$|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}$.
Пример решения
Решим пример.
$A = \begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{pmatrix}.$
$|A| = \begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\0&0&2\\-3&-1&0\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\-3&0&2\\6&-1&0\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}0&0&4\\-3&0&2\\6&-3&0\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}0&0&1\\-3&0&0\\6&-3&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-0\cdot24+2\cdot36-(-1)\cdot9=78.$
В рамках учебной программы принято использовать однотипные примеры с действительными числами. Зная формулу, очевидно, что все примеры будут аналогичны друг другу.
Теорема Лапласа
Существует также метод нахождения определителя четвертого порядка по теореме Лапласа. Тогда понадобится следующее понятие:
Алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$ матрицы третьего порядка - минор элемента $a_{ij}$, умноженный на $(-1)^{i+j}$.
Определитель четвертого порядка равен сумме всех четырёх произведений следующего вида: каждый из четырёх элементов какой-либо фиксированной строки (столбца) этой матрицы умножается на его алгебраическое дополнение.
Эта теорема распространяется на матрицы любого порядка.
При ручном решении подобных задач главное помнить о внимательности и сосредоточенности, а также уметь проявлять терпение, когда дело касается большой матрицы или матрицы с большими значениями элементов. На практике в современных условиях для решения подобных задач применяют вычислительные машины.
