Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вычисления производной любого порядка

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Вычисления производной любого порядка
Вычисления производной любого порядка

Пусть $y = uv$, где $u$ и $v$ -- некоторые функции от переменной $х$, имеющие производные любого порядка. Тогда

Правая часть данных выражений похожа на разложение степеней бинома $(u + v)n$ по формуле Ньютона, вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а $u$ и $v$ можно рассматривать как производные 0-го порядка. Таким образом, общий вид $n$-й производной произведения двух функций:

Формула получила название формулы Лейбница для нахождения производных любого порядка.

Пример 1

Найти производную третьего порядка

\[y(x)=5x^{2} \ln x\]

Решение.

  1. Запишем производную по формуле Лейбница
  2. \[y^{(3)} (x)=\left(5x^{2} \right)^{(3)} \ln x+C_{3}^{1} \left(5x^{2} \right){{'} } {{'} } \ln x'+C_{3}^{2} \left(5x^{2} \right){{'} } \ln x''+5x^{2} \ln x^{(3)} \]
  3. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
  4. \[C_{3}^{1} =\frac{3!}{1!(3-1)!} =\frac{3!}{2!} =\frac{2!3}{2!} =3\] \[C_{3}^{2} =\frac{3!}{2!(3-2)!} =\frac{3!}{2!} =\frac{2!3}{2!} =3\]
  5. Найдем производные первого сомножителя
  6. \[\left(5x^{2} \right){{'} } =10x\] \[\left(5x^{2} \right){{'} } {{'} } =\left(10x\right){{'} } =10\] \[\left(5x^{2} \right){{'} } {{'} {'} } =\left(10\right){{'} } =1\]
  7. Найдем производные второго сомножителя
  8. \[\ln x'=\frac{1}{x} \] \[\ln x''=\left(\frac{1}{x} \right){{'} } =-\frac{1}{x^{2} } \] \[\ln x'''=\left(-\frac{1}{x^{2} } \right){{'} } =\frac{2}{x^{3} } \]
  9. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
  10. \[y^{(3)} (x)=1\cdot \ln x+3\cdot 10\cdot \frac{1}{x} -3\cdot 10x\cdot \frac{1}{x^{2} } +5x^{2} \frac{2}{x^{3} } \]
  11. Упростим выражение
  12. \[y^{(3)} (x)=\ln x+\frac{30}{x} -\frac{30}{x} +\frac{10}{x} =\ln x+\frac{10}{x} \]
Пример 2

Найти производную четвертого порядка

\[y(x)=e^{4x} \sin 3x\]

Решение.

  1. Запишем производную по формуле Лейбница
  2. \[y^{(4)} (x)=\left(e^{4x} \right)^{(4)} \sin 3x+C_{4}^{1} \left(e^{4x} \right)^{(3)} \sin 3x'+C_{4}^{2} \left(e^{4x} \right)^{(2)} \sin 3x''+C_{4}^{3} \left(e^{4x} \right){{'} } \sin 3x'''+e^{4x} \sin 3x^{(4)} \]
  3. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
  4. \[C_{4}^{1} =\frac{4!}{1!(4-1)!} =\frac{4!}{3!} =\frac{3!4}{3!} =4\] \[C_{4}^{2} =\frac{4!}{2!(4-2)!} =\frac{4!}{2!2!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2} =6\] \[C_{4}^{3} =\frac{4!}{3!(4-3)!} =\frac{4!}{3!1!} =\frac{3!4}{3!} =4\]
  5. Найдем производные первого сомножителя
  6. \[\left(e^{4x} \right){{'} } =e^{4x} \cdot 4x'=4e^{4x} \] \[\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } =\left(4e^{4x} \right){{'} } =16e^{4x} \] \[\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =\left(16e^{4x} \right){{'} } =64e^{4x} \] \[\left(e^{4x} \right)^{(4)} =\left(64e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =256e^{4x} \]
  7. Найдем производные второго сомножителя
  8. \[\sin 3x'=\cos 3x\cdot 3x'=3\cos 3x\] \[\sin 3x''=\left(3\cos 3x\right){{'} } =3\left(-\sin 3x\right)\cdot \left(3x\right){{'} } =-9\sin 3x\] \[\sin 3x'''=\left(-9\sin 3x\right){{'} } ^{} =-27\cos 3x\] \[\sin 3x^{(4)} =\left(-27\cos 3x\right){{'} } =81\sin 3x\]
  9. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
  10. \[y^{(4)} (x)=256e^{4x} \sin 3x+4\cdot 64e^{4x} \cdot 3\cos 3x+6\cdot 16e^{4x} \cdot \left(-9\sin 3x\right)+4\cdot 4e^{4x} \cdot \left(-27\cos 3x\right)+e^{4x} \cdot 81\sin 3x\]
  11. Упростим
  12. \[y^{(4)} (x)=e^{4x} (336\cos 3x-527\sin 3x)\]
Пример 3

Найти производную пятого порядка

\[y(x)=x^{10} e^{x} \]

Решение.

  1. Запишем производную по формуле Лейбница
  2. \[x^{10} {{'} } =10x^{9} \]
  3. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
  4. \[C_{5}^{1} =\frac{5!}{1!(5-1)!} =\frac{4!5}{4!} =5\] \[C_{5}^{2} =\frac{5!}{2!(5-2)!} =\frac{3!4\cdot 5}{2!3!} =10\] \[C_{5}^{3} =\frac{5!}{3!(4-2)!} =\frac{5!}{3!2!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2} =10\] \[C_{5}^{4} =\frac{5!}{4!(5-4)!} =\frac{5!}{4!} =\frac{4!5}{4!} =5\]
  5. Производная любого порядка $ех$ равна $ех$
  6. Найдем производные второго сомножителя
  7. \[x^{10}{{'} } =10x^{9} \] \[x^{10}{{'} }{{'} } =\left(10x^{9} \right){{'} } =90x^{8} \] \[x^{10}{{'} }{{'} }{{'} } =\left(90x^{8} \right){{'} } =720x^{7} \] \[x^{10}{(4)} =720x^{7} {{'} } =5040x^{6} \] \[x^{10}{(5)} =5040x^{6} {{'} } =30240x^{5} \]
  8. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
  9. \[y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +5\cdot 5040x^{6} e^{x} +10\cdot 720x^{7} e^{x} +10\cdot 90x^{8} e^{x} +5\cdot 10x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x} \]
  10. Упростим
  11. \[y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +25200x^{6} e^{x} +7200x^{7} e^{x} +900x^{8} e^{x} +50x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x} =\] \[y^{(5)} (x)=x^{5} e^{x} \left(30240+25200x+7200x^{2} +900x^{3} +50x^{4} +x^{5} \right)\]